Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56022 / 43833
↖ ↑ ↗
← N 51.081097°
W 26.130981°		 ← 191.83 m → N 51.081097°
W 26.128235°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.079371°
W 26.130981°		 ← 191.84 m →
36 813 m²		 N 51.079371°
W 26.128235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427417755126953 y=0.334423065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427417755126953 × 217)
    floor (0.427417755126953 × 131072)
    floor (56022.5)     		tx = 56022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334423065185547 × 217)
    floor (0.334423065185547 × 131072)
    floor (43833.5)     		ty = 43833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56022 / 43833 ti = "17/56022/43833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56022/43833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56022 ÷ 217
    56022 ÷ 131072     		x = 0.427413940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43833 ÷ 217
    43833 ÷ 131072     		y = 0.334419250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427413940429688 × 2 - 1) × π
    -0.145172119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45607166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334419250488281 × 2 - 1) × π
    0.331161499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04037453245408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45607166} λ = -0.45607166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04037453245408))-π/2
    2×atan(2.83027684640143)-π/2
    2×1.23116482256184-π/2
    2.46232964512368-1.57079632675     		φ = 0.89153332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45607166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.130981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89153332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.081097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56022 KachelY 43833 -0.45607166 0.89153332 -26.130981 51.081097
    Oben rechts KachelX + 1 56023 KachelY 43833 -0.45602373 0.89153332 -26.128235 51.081097
    Unten links KachelX 56022 KachelY + 1 43834 -0.45607166 0.89150320 -26.130981 51.079371
    Unten rechts KachelX + 1 56023 KachelY + 1 43834 -0.45602373 0.89150320 -26.128235 51.079371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89153332-0.89150320) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dl = 191.894519999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89153332-0.89150320) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dr = 191.894519999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45607166--0.45602373) × cos(0.89153332) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628219787492871 × 6371000     		do = 191.834469594887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45607166--0.45602373) × cos(0.89150320) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628243221649924 × 6371000     		du = 191.841625496656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89153332)-sin(0.89150320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628219787492871-0.628243221649924)×R²
    abs(-0.45602373--0.45607166)×2.34341570538588e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34341570538588e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34341570538588e-05×40589641000000     		ar = 36812.6700540854m²