Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56022 / 43827
↖ ↑ ↗
← N 51.091448°
W 26.130981°		 ← 191.79 m → N 51.091448°
W 26.128235°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.089723°
W 26.130981°		 ← 191.80 m →
36 792 m²		 N 51.089723°
W 26.128235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427417755126953 y=0.334377288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427417755126953 × 217)
    floor (0.427417755126953 × 131072)
    floor (56022.5)     		tx = 56022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334377288818359 × 217)
    floor (0.334377288818359 × 131072)
    floor (43827.5)     		ty = 43827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56022 / 43827 ti = "17/56022/43827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56022/43827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56022 ÷ 217
    56022 ÷ 131072     		x = 0.427413940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43827 ÷ 217
    43827 ÷ 131072     		y = 0.334373474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427413940429688 × 2 - 1) × π
    -0.145172119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45607166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334373474121094 × 2 - 1) × π
    0.331253051757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0406621538518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45607166} λ = -0.45607166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0406621538518))-π/2
    2×atan(2.83109101166399)-π/2
    2×1.23125515718031-π/2
    2.46251031436061-1.57079632675     		φ = 0.89171399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45607166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.130981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89171399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.091448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56022 KachelY 43827 -0.45607166 0.89171399 -26.130981 51.091448
    Oben rechts KachelX + 1 56023 KachelY 43827 -0.45602373 0.89171399 -26.128235 51.091448
    Unten links KachelX 56022 KachelY + 1 43828 -0.45607166 0.89168388 -26.130981 51.089723
    Unten rechts KachelX + 1 56023 KachelY + 1 43828 -0.45602373 0.89168388 -26.128235 51.089723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89171399-0.89168388) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89171399-0.89168388) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45607166--0.45602373) × cos(0.89171399) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628079209490232 × 6371000     		do = 191.791542410628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45607166--0.45602373) × cos(0.89168388) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628102639284296 × 6371000     		du = 191.798696980106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89171399)-sin(0.89168388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628079209490232-0.628102639284296)×R²
    abs(-0.45602373--0.45607166)×2.34297940643335e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34297940643335e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34297940643335e-05×40589641000000     		ar = 36792.2131679777m²