Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56020 / 43859
↖ ↑ ↗
← N 51.036213°
W 26.136475°		 ← 192.06 m → N 51.036213°
W 26.133728°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
N 51.034486°
W 26.136475°		 ← 192.07 m →
36 881 m²		 N 51.034486°
W 26.133728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427402496337891 y=0.334621429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427402496337891 × 217)
    floor (0.427402496337891 × 131072)
    floor (56020.5)     		tx = 56020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334621429443359 × 217)
    floor (0.334621429443359 × 131072)
    floor (43859.5)     		ty = 43859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56020 / 43859 ti = "17/56020/43859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56020/43859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56020 ÷ 217
    56020 ÷ 131072     		x = 0.427398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43859 ÷ 217
    43859 ÷ 131072     		y = 0.334617614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.14520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45616754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334617614746094 × 2 - 1) × π
    0.330764770507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03912817306396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45616754} λ = -0.45616754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03912817306396))-π/2
    2×atan(2.82675150165689)-π/2
    2×1.23077313890591-π/2
    2.46154627781182-1.57079632675     		φ = 0.89074995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45616754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.136475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89074995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.036213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56020 KachelY 43859 -0.45616754 0.89074995 -26.136475 51.036213
    Oben rechts KachelX + 1 56021 KachelY 43859 -0.45611960 0.89074995 -26.133728 51.036213
    Unten links KachelX 56020 KachelY + 1 43860 -0.45616754 0.89071981 -26.136475 51.034486
    Unten rechts KachelX + 1 56021 KachelY + 1 43860 -0.45611960 0.89071981 -26.133728 51.034486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89074995-0.89071981) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89074995-0.89071981) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45616754--0.45611960) × cos(0.89074995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628829084672744 × 6371000     		do = 192.06058851957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45616754--0.45611960) × cos(0.89071981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628852519549913 × 6371000     		du = 192.067746134271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89074995)-sin(0.89071981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628829084672744-0.628852519549913)×R²
    abs(-0.45611960--0.45616754)×2.34348771693815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34348771693815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34348771693815e-05×40589641000000     		ar = 36880.5340173187m²