Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56019 / 29546
↖ ↑ ↗
← N 69.799827°
W 26.139221°		 ← 105.44 m → N 69.799827°
W 26.136475°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 69.798878°
W 26.139221°		 ← 105.45 m →
11 125 m²		 N 69.798878°
W 26.136475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427394866943359 y=0.225421905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427394866943359 × 217)
    floor (0.427394866943359 × 131072)
    floor (56019.5)     		tx = 56019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225421905517578 × 217)
    floor (0.225421905517578 × 131072)
    floor (29546.5)     		ty = 29546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56019 / 29546 ti = "17/56019/29546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56019/29546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56019 ÷ 217
    56019 ÷ 131072     		x = 0.427391052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29546 ÷ 217
    29546 ÷ 131072     		y = 0.225418090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427391052246094 × 2 - 1) × π
    -0.145217895507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45621547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225418090820312 × 2 - 1) × π
    0.549163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72524901732582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45621547} λ = -0.45621547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72524901732582))-π/2
    2×atan(5.6139188187007)-π/2
    2×1.39451656133715-π/2
    2.78903312267429-1.57079632675     		φ = 1.21823680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45621547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.139221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21823680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.799827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56019 KachelY 29546 -0.45621547 1.21823680 -26.139221 69.799827
    Oben rechts KachelX + 1 56020 KachelY 29546 -0.45616754 1.21823680 -26.136475 69.799827
    Unten links KachelX 56019 KachelY + 1 29547 -0.45621547 1.21822024 -26.139221 69.798878
    Unten rechts KachelX + 1 56020 KachelY + 1 29547 -0.45616754 1.21822024 -26.136475 69.798878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21823680-1.21822024) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21823680-1.21822024) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45621547--0.45616754) × cos(1.21823680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345301031267587 × 6371000     		do = 105.441823869028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45621547--0.45616754) × cos(1.21822024) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34531657264744 × 6371000     		du = 105.446569616329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21823680)-sin(1.21822024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345301031267587-0.34531657264744)×R²
    abs(-0.45616754--0.45621547)×1.55413798527682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55413798527682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55413798527682e-05×40589641000000     		ar = 11124.7592269216m²