Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56017 / 14020
↖ ↑ ↗
← N 80.325660°
W 26.144714°		 ← 51.33 m → N 80.325660°
W 26.141968°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.325198°
W 26.144714°		 ← 51.33 m →
2 636 m²		 N 80.325198°
W 26.141968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427379608154297 y=0.106967926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427379608154297 × 217)
    floor (0.427379608154297 × 131072)
    floor (56017.5)     		tx = 56017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106967926025391 × 217)
    floor (0.106967926025391 × 131072)
    floor (14020.5)     		ty = 14020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56017 / 14020 ti = "17/56017/14020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56017/14020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56017 ÷ 217
    56017 ÷ 131072     		x = 0.427375793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14020 ÷ 217
    14020 ÷ 131072     		y = 0.106964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427375793457031 × 2 - 1) × π
    -0.145248413085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.45631135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106964111328125 × 2 - 1) × π
    0.78607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46951732082681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45631135} λ = -0.45631135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46951732082681))-π/2
    2×atan(11.8167417797454)-π/2
    2×1.48637178284112-π/2
    2.97274356568223-1.57079632675     		φ = 1.40194724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45631135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.144714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40194724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.325660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56017 KachelY 14020 -0.45631135 1.40194724 -26.144714 80.325660
    Oben rechts KachelX + 1 56018 KachelY 14020 -0.45626341 1.40194724 -26.141968 80.325660
    Unten links KachelX 56017 KachelY + 1 14021 -0.45631135 1.40193918 -26.144714 80.325198
    Unten rechts KachelX + 1 56018 KachelY + 1 14021 -0.45626341 1.40193918 -26.141968 80.325198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40194724-1.40193918) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40194724-1.40193918) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45631135--0.45626341) × cos(1.40194724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168047914744873 × 6371000     		do = 51.3261587164354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45631135--0.45626341) × cos(1.40193918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16805586011677 × 6371000     		du = 51.3285854375267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40194724)-sin(1.40193918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168047914744873-0.16805586011677)×R²
    abs(-0.45626341--0.45631135)×7.94537189746647e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.94537189746647e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.94537189746647e-06×40589641000000     		ar = 2635.67390128891m²