Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56016 / 44464
↖ ↑ ↗
← N 49.979488°
W 26.147461°		 ← 196.37 m → N 49.979488°
W 26.144714°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
N 49.977721°
W 26.147461°		 ← 196.37 m →
38 571 m²		 N 49.977721°
W 26.144714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427371978759766 y=0.339237213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427371978759766 × 217)
    floor (0.427371978759766 × 131072)
    floor (56016.5)     		tx = 56016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339237213134766 × 217)
    floor (0.339237213134766 × 131072)
    floor (44464.5)     		ty = 44464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56016 / 44464 ti = "17/56016/44464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56016/44464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56016 ÷ 217
    56016 ÷ 131072     		x = 0.4273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44464 ÷ 217
    44464 ÷ 131072     		y = 0.3392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3392333984375 × 2 - 1) × π
    0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45635928} λ = -0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01012634879382))-π/2
    2×atan(2.74594794030982)-π/2
    2×1.22155147333375-π/2
    2.4431029466675-1.57079632675     		φ = 0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56016 KachelY 44464 -0.45635928 0.87230662 -26.147461 49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 56017 KachelY 44464 -0.45631135 0.87230662 -26.144714 49.979488
    Unten links KachelX 56016 KachelY + 1 44465 -0.45635928 0.87227579 -26.147461 49.977721
    Unten rechts KachelX + 1 56017 KachelY + 1 44465 -0.45631135 0.87227579 -26.144714 49.977721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87230662-0.87227579) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87230662-0.87227579) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45635928--0.45631135) × cos(0.87230662) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 196.366661852338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45635928--0.45631135) × cos(0.87227579) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643085426741314 × 6371000     		du = 196.373871373037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87230662)-sin(0.87227579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.643085426741314)×R²
    abs(-0.45631135--0.45635928)×2.36097483971021e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36097483971021e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36097483971021e-05×40589641000000     		ar = 38570.6412845754m²