Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56016 / 15088
↖ ↑ ↗
← N 79.820072°
W 26.147461°		 ← 53.97 m → N 79.820072°
W 26.144714°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.819586°
W 26.147461°		 ← 53.97 m →
2 916 m²		 N 79.819586°
W 26.144714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427371978759766 y=0.115116119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427371978759766 × 217)
    floor (0.427371978759766 × 131072)
    floor (56016.5)     		tx = 56016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115116119384766 × 217)
    floor (0.115116119384766 × 131072)
    floor (15088.5)     		ty = 15088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56016 / 15088 ti = "17/56016/15088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56016/15088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56016 ÷ 217
    56016 ÷ 131072     		x = 0.4273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15088 ÷ 217
    15088 ÷ 131072     		y = 0.1151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1151123046875 × 2 - 1) × π
    0.769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41832071203259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45635928} λ = -0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41832071203259))-π/2
    2×atan(11.226990126486)-π/2
    2×1.48195969696567-π/2
    2.96391939393134-1.57079632675     		φ = 1.39312307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39312307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.820072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56016 KachelY 15088 -0.45635928 1.39312307 -26.147461 79.820072
    Oben rechts KachelX + 1 56017 KachelY 15088 -0.45631135 1.39312307 -26.144714 79.820072
    Unten links KachelX 56016 KachelY + 1 15089 -0.45635928 1.39311459 -26.147461 79.819586
    Unten rechts KachelX + 1 56017 KachelY + 1 15089 -0.45631135 1.39311459 -26.144714 79.819586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39312307-1.39311459) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39312307-1.39311459) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45635928--0.45631135) × cos(1.39312307) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.176739939255201 × 6371000     		do = 53.9696666330154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45635928--0.45631135) × cos(1.39311459) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.176748285753168 × 6371000     		du = 53.972215336578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39312307)-sin(1.39311459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176739939255201-0.176748285753168)×R²
    abs(-0.45631135--0.45635928)×8.34649796702114e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.34649796702114e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.34649796702114e-06×40589641000000     		ar = 2915.83837534893m²