Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56013 / 29130
↖ ↑ ↗
← N 70.190688°
W 26.155701°		 ← 103.51 m → N 70.190688°
W 26.152954°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 70.189758°
W 26.155701°		 ← 103.51 m →
10 709 m²		 N 70.189758°
W 26.152954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427349090576172 y=0.222248077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427349090576172 × 217)
    floor (0.427349090576172 × 131072)
    floor (56013.5)     		tx = 56013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222248077392578 × 217)
    floor (0.222248077392578 × 131072)
    floor (29130.5)     		ty = 29130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56013 / 29130 ti = "17/56013/29130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56013/29130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56013 ÷ 217
    56013 ÷ 131072     		x = 0.427345275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29130 ÷ 217
    29130 ÷ 131072     		y = 0.222244262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427345275878906 × 2 - 1) × π
    -0.145309448242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45650310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222244262695312 × 2 - 1) × π
    0.555511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74519076756776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45650310} λ = -0.45650310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74519076756776))-π/2
    2×atan(5.72699389591492)-π/2
    2×1.39792747057295-π/2
    2.7958549411459-1.57079632675     		φ = 1.22505861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45650310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.155701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22505861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.190688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56013 KachelY 29130 -0.45650310 1.22505861 -26.155701 70.190688
    Oben rechts KachelX + 1 56014 KachelY 29130 -0.45645516 1.22505861 -26.152954 70.190688
    Unten links KachelX 56013 KachelY + 1 29131 -0.45650310 1.22504237 -26.155701 70.189758
    Unten rechts KachelX + 1 56014 KachelY + 1 29131 -0.45645516 1.22504237 -26.152954 70.189758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22505861-1.22504237) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22505861-1.22504237) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45650310--0.45645516) × cos(1.22505861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		do = 103.50598324163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45650310--0.45645516) × cos(1.22504237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338906111288483 × 6371000     		du = 103.510649830739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22505861)-sin(1.22504237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338890832323753-0.338906111288483)×R²
    abs(-0.45645516--0.45650310)×1.52789647300255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52789647300255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52789647300255e-05×40589641000000     		ar = 10709.4921109644m²