Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56012 / 28602
↖ ↑ ↗
← N 70.676335°
W 26.158447°		 ← 101.05 m → N 70.676335°
W 26.155701°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
N 70.675426°
W 26.158447°		 ← 101.05 m →
10 210 m²		 N 70.675426°
W 26.155701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427341461181641 y=0.218219757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427341461181641 × 217)
    floor (0.427341461181641 × 131072)
    floor (56012.5)     		tx = 56012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218219757080078 × 217)
    floor (0.218219757080078 × 131072)
    floor (28602.5)     		ty = 28602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56012 / 28602 ti = "17/56012/28602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56012/28602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56012 ÷ 217
    56012 ÷ 131072     		x = 0.427337646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28602 ÷ 217
    28602 ÷ 131072     		y = 0.218215942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.14532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45655103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218215942382812 × 2 - 1) × π
    0.563568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77050145056715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45655103} λ = -0.45655103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77050145056715))-π/2
    2×atan(5.87379804237462)-π/2
    2×1.40216553738963-π/2
    2.80433107477926-1.57079632675     		φ = 1.23353475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45655103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.158447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23353475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.676335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56012 KachelY 28602 -0.45655103 1.23353475 -26.158447 70.676335
    Oben rechts KachelX + 1 56013 KachelY 28602 -0.45650310 1.23353475 -26.155701 70.676335
    Unten links KachelX 56012 KachelY + 1 28603 -0.45655103 1.23351889 -26.158447 70.675426
    Unten rechts KachelX + 1 56013 KachelY + 1 28603 -0.45650310 1.23351889 -26.155701 70.675426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23353475-1.23351889) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23353475-1.23351889) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45655103--0.45650310) × cos(1.23353475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330904183711965 × 6371000     		do = 101.04557327384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45655103--0.45650310) × cos(1.23351889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33091915018707 × 6371000     		du = 101.05014346706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23353475)-sin(1.23351889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330904183711965-0.33091915018707)×R²
    abs(-0.45650310--0.45655103)×1.49664751048495e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49664751048495e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49664751048495e-05×40589641000000     		ar = 10210.2858642423m²