Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56011 / 43598
↖ ↑ ↗
← N 51.484804°
W 26.161194°		 ← 190.20 m → N 51.484804°
W 26.158447°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
N 51.483093°
W 26.161194°		 ← 190.20 m →
36 171 m²		 N 51.483093°
W 26.158447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427333831787109 y=0.332630157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427333831787109 × 217)
    floor (0.427333831787109 × 131072)
    floor (56011.5)     		tx = 56011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332630157470703 × 217)
    floor (0.332630157470703 × 131072)
    floor (43598.5)     		ty = 43598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56011 / 43598 ti = "17/56011/43598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56011/43598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56011 ÷ 217
    56011 ÷ 131072     		x = 0.427330017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43598 ÷ 217
    43598 ÷ 131072     		y = 0.332626342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427330017089844 × 2 - 1) × π
    -0.145339965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45659897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332626342773438 × 2 - 1) × π
    0.334747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05163970386479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45659897} λ = -0.45659897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05163970386479))-π/2
    2×atan(2.86234066332772)-π/2
    2×1.23468783338691-π/2
    2.46937566677382-1.57079632675     		φ = 0.89857934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45659897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.161194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89857934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.484804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56011 KachelY 43598 -0.45659897 0.89857934 -26.161194 51.484804
    Oben rechts KachelX + 1 56012 KachelY 43598 -0.45655103 0.89857934 -26.158447 51.484804
    Unten links KachelX 56011 KachelY + 1 43599 -0.45659897 0.89854949 -26.161194 51.483093
    Unten rechts KachelX + 1 56012 KachelY + 1 43599 -0.45655103 0.89854949 -26.158447 51.483093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89857934-0.89854949) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89857934-0.89854949) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45659897--0.45655103) × cos(0.89857934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622722181813987 × 6371000     		do = 190.195383194827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45659897--0.45655103) × cos(0.89854949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622745537460791 × 6371000     		du = 190.202516610535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89857934)-sin(0.89854949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622722181813987-0.622745537460791)×R²
    abs(-0.45655103--0.45659897)×2.33556468040019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33556468040019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33556468040019e-05×40589641000000     		ar = 36170.961671153m²