Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56009 / 87047
↖ ↑ ↗
← S 50.748622°
W 26.166687°		 ← 193.21 m → S 50.748622°
W 26.163941°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
S 50.750360°
W 26.166687°		 ← 193.20 m →
37 334 m²		 S 50.750360°
W 26.163941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427318572998047 y=0.664119720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427318572998047 × 217)
    floor (0.427318572998047 × 131072)
    floor (56009.5)     		tx = 56009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664119720458984 × 217)
    floor (0.664119720458984 × 131072)
    floor (87047.5)     		ty = 87047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56009 / 87047 ti = "17/56009/87047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56009/87047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56009 ÷ 217
    56009 ÷ 131072     		x = 0.427314758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87047 ÷ 217
    87047 ÷ 131072     		y = 0.664115905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427314758300781 × 2 - 1) × π
    -0.145370483398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45669484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664115905761719 × 2 - 1) × π
    -0.328231811523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03117064772703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45669484} λ = -0.45669484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03117064772703))-π/2
    2×atan(0.356589275710839)-π/2
    2×0.342532895260982-π/2
    0.685065790521964-1.57079632675     		φ = -0.88573054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45669484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.166687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88573054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.748622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56009 KachelY 87047 -0.45669484 -0.88573054 -26.166687 -50.748622
    Oben rechts KachelX + 1 56010 KachelY 87047 -0.45664691 -0.88573054 -26.163941 -50.748622
    Unten links KachelX 56009 KachelY + 1 87048 -0.45669484 -0.88576087 -26.166687 -50.750360
    Unten rechts KachelX + 1 56010 KachelY + 1 87048 -0.45664691 -0.88576087 -26.163941 -50.750360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88573054--0.88576087) × R
    3.03300000000783e-05 × 6371000     		dl = 193.232430000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88573054--0.88576087) × R
    3.03300000000783e-05 × 6371000     		dr = 193.232430000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45669484--0.45664691) × cos(-0.88573054) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632723956694291 × 6371000     		do = 193.209871845695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45669484--0.45664691) × cos(-0.88576087) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632700469536004 × 6371000     		du = 193.202699759362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88573054)-sin(-0.88576087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632723956694291-0.632700469536004)×R²
    abs(-0.45664691--0.45669484)×2.34871582871499e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34871582871499e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34871582871499e-05×40589641000000     		ar = 37333.72009978m²