Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56009 / 29132
↖ ↑ ↗
← N 70.188826°
W 26.166687°		 ← 103.49 m → N 70.188826°
W 26.163941°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 70.187895°
W 26.166687°		 ← 103.50 m →
10 715 m²		 N 70.187895°
W 26.163941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427318572998047 y=0.222263336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427318572998047 × 217)
    floor (0.427318572998047 × 131072)
    floor (56009.5)     		tx = 56009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222263336181641 × 217)
    floor (0.222263336181641 × 131072)
    floor (29132.5)     		ty = 29132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56009 / 29132 ti = "17/56009/29132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56009/29132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56009 ÷ 217
    56009 ÷ 131072     		x = 0.427314758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29132 ÷ 217
    29132 ÷ 131072     		y = 0.222259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427314758300781 × 2 - 1) × π
    -0.145370483398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45669484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222259521484375 × 2 - 1) × π
    0.55548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74509489376852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45669484} λ = -0.45669484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74509489376852))-π/2
    2×atan(5.7264448535717)-π/2
    2×1.39791122446465-π/2
    2.79582244892929-1.57079632675     		φ = 1.22502612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45669484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.166687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22502612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.188826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56009 KachelY 29132 -0.45669484 1.22502612 -26.166687 70.188826
    Oben rechts KachelX + 1 56010 KachelY 29132 -0.45664691 1.22502612 -26.163941 70.188826
    Unten links KachelX 56009 KachelY + 1 29133 -0.45669484 1.22500987 -26.166687 70.187895
    Unten rechts KachelX + 1 56010 KachelY + 1 29133 -0.45664691 1.22500987 -26.163941 70.187895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22502612-1.22500987) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22502612-1.22500987) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45669484--0.45664691) × cos(1.22502612) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.338921399571977 × 6371000     		do = 103.493726583684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45669484--0.45664691) × cos(1.22500987) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.338936687765975 × 6371000     		du = 103.498395017638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22502612)-sin(1.22500987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338921399571977-0.338936687765975)×R²
    abs(-0.45664691--0.45669484)×1.52881939981531e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.52881939981531e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.52881939981531e-05×40589641000000     		ar = 10714.8178048085m²