Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56007 / 43731
↖ ↑ ↗
← N 51.256759°
W 26.172180°		 ← 191.15 m → N 51.256759°
W 26.169434°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
N 51.255040°
W 26.172180°		 ← 191.15 m →
36 534 m²		 N 51.255040°
W 26.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427303314208984 y=0.333644866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427303314208984 × 217)
    floor (0.427303314208984 × 131072)
    floor (56007.5)     		tx = 56007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333644866943359 × 217)
    floor (0.333644866943359 × 131072)
    floor (43731.5)     		ty = 43731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56007 / 43731 ti = "17/56007/43731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56007/43731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56007 ÷ 217
    56007 ÷ 131072     		x = 0.427299499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43731 ÷ 217
    43731 ÷ 131072     		y = 0.333641052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427299499511719 × 2 - 1) × π
    -0.145401000976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45679072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333641052246094 × 2 - 1) × π
    0.332717895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.04526409621532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45679072} λ = -0.45679072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04526409621532))-π/2
    2×atan(2.84414955360824)-π/2
    2×1.23269776281262-π/2
    2.46539552562523-1.57079632675     		φ = 0.89459920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45679072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.172180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89459920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.256759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56007 KachelY 43731 -0.45679072 0.89459920 -26.172180 51.256759
    Oben rechts KachelX + 1 56008 KachelY 43731 -0.45674278 0.89459920 -26.169434 51.256759
    Unten links KachelX 56007 KachelY + 1 43732 -0.45679072 0.89456920 -26.172180 51.255040
    Unten rechts KachelX + 1 56008 KachelY + 1 43732 -0.45674278 0.89456920 -26.169434 51.255040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89459920-0.89456920) × R
    3.00000000000855e-05 × 6371000     		dl = 191.130000000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89459920-0.89456920) × R
    3.00000000000855e-05 × 6371000     		dr = 191.130000000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45679072--0.45674278) × cos(0.89459920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625831473940586 × 6371000     		do = 191.145041043469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45679072--0.45674278) × cos(0.89456920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625854872408275 × 6371000     		du = 191.152187537778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89459920)-sin(0.89456920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625831473940586-0.625854872408275)×R²
    abs(-0.45674278--0.45679072)×2.3398467689395e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3398467689395e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3398467689395e-05×40589641000000     		ar = 36534.2346523818m²