Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56005 / 13628
↖ ↑ ↗
← N 80.504925°
W 26.177673°		 ← 50.38 m → N 80.504925°
W 26.174927°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.504471°
W 26.177673°		 ← 50.39 m →
2 539 m²		 N 80.504471°
W 26.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427288055419922 y=0.103977203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427288055419922 × 217)
    floor (0.427288055419922 × 131072)
    floor (56005.5)     		tx = 56005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103977203369141 × 217)
    floor (0.103977203369141 × 131072)
    floor (13628.5)     		ty = 13628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56005 / 13628 ti = "17/56005/13628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56005/13628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56005 ÷ 217
    56005 ÷ 131072     		x = 0.427284240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13628 ÷ 217
    13628 ÷ 131072     		y = 0.103973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427284240722656 × 2 - 1) × π
    -0.145431518554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.45688659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103973388671875 × 2 - 1) × π
    0.79205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48830858547787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45688659} λ = -0.45688659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48830858547787))-π/2
    2×atan(12.0408927460865)-π/2
    2×1.48793616264047-π/2
    2.97587232528094-1.57079632675     		φ = 1.40507600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45688659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.177673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40507600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.504925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56005 KachelY 13628 -0.45688659 1.40507600 -26.177673 80.504925
    Oben rechts KachelX + 1 56006 KachelY 13628 -0.45683865 1.40507600 -26.174927 80.504925
    Unten links KachelX 56005 KachelY + 1 13629 -0.45688659 1.40506809 -26.177673 80.504471
    Unten rechts KachelX + 1 56006 KachelY + 1 13629 -0.45683865 1.40506809 -26.174927 80.504471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40507600-1.40506809) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dl = 50.3946099992918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40507600-1.40506809) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dr = 50.3946099992918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45688659--0.45683865) × cos(1.40507600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16496283188851 × 6371000     		do = 50.3838950020106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45688659--0.45683865) × cos(1.40506809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164970633514641 × 6371000     		du = 50.386277819445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40507600)-sin(1.40506809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16496283188851-0.164970633514641)×R²
    abs(-0.45683865--0.45688659)×7.80162613125968e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.80162613125968e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.80162613125968e-06×40589641000000     		ar = 2539.13677950496m²