Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56004 / 14005
↖ ↑ ↗
← N 80.332581°
W 26.180420°		 ← 51.29 m → N 80.332581°
W 26.177673°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.332119°
W 26.180420°		 ← 51.29 m →
2 631 m²		 N 80.332119°
W 26.177673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427280426025391 y=0.106853485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427280426025391 × 217)
    floor (0.427280426025391 × 131072)
    floor (56004.5)     		tx = 56004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106853485107422 × 217)
    floor (0.106853485107422 × 131072)
    floor (14005.5)     		ty = 14005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56004 / 14005 ti = "17/56004/14005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56004/14005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56004 ÷ 217
    56004 ÷ 131072     		x = 0.427276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14005 ÷ 217
    14005 ÷ 131072     		y = 0.106849670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.14544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45693453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106849670410156 × 2 - 1) × π
    0.786300659179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47023637432111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45693453} λ = -0.45693453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47023637432111))-π/2
    2×atan(11.8252417047976)-π/2
    2×1.4864321791537-π/2
    2.9728643583074-1.57079632675     		φ = 1.40206803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45693453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40206803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.332581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56004 KachelY 14005 -0.45693453 1.40206803 -26.180420 80.332581
    Oben rechts KachelX + 1 56005 KachelY 14005 -0.45688659 1.40206803 -26.177673 80.332581
    Unten links KachelX 56004 KachelY + 1 14006 -0.45693453 1.40205998 -26.180420 80.332119
    Unten rechts KachelX + 1 56005 KachelY + 1 14006 -0.45688659 1.40205998 -26.177673 80.332119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40206803-1.40205998) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40206803-1.40205998) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45693453--0.45688659) × cos(1.40206803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167928841294562 × 6371000     		do = 51.2897906197598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45693453--0.45688659) × cos(1.40205998) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167936776972034 × 6371000     		du = 51.2922143799241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40206803)-sin(1.40205998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167928841294562-0.167936776972034)×R²
    abs(-0.45688659--0.45693453)×7.93567747175983e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.93567747175983e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.93567747175983e-06×40589641000000     		ar = 2630.53856429292m²