Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56001 / 13637
↖ ↑ ↗
← N 80.500846°
W 26.188660°		 ← 50.41 m → N 80.500846°
W 26.185913°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.500393°
W 26.188660°		 ← 50.41 m →
2 540 m²		 N 80.500393°
W 26.185913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427257537841797 y=0.104045867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427257537841797 × 217)
    floor (0.427257537841797 × 131072)
    floor (56001.5)     		tx = 56001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104045867919922 × 217)
    floor (0.104045867919922 × 131072)
    floor (13637.5)     		ty = 13637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56001 / 13637 ti = "17/56001/13637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56001/13637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56001 ÷ 217
    56001 ÷ 131072     		x = 0.427253723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13637 ÷ 217
    13637 ÷ 131072     		y = 0.104042053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427253723144531 × 2 - 1) × π
    -0.145492553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.45707834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104042053222656 × 2 - 1) × π
    0.791915893554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.48787715338129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45707834} λ = -0.45707834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48787715338129))-π/2
    2×atan(12.0356990389309)-π/2
    2×1.48790056993778-π/2
    2.97580113987555-1.57079632675     		φ = 1.40500481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45707834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.188660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40500481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.500846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56001 KachelY 13637 -0.45707834 1.40500481 -26.188660 80.500846
    Oben rechts KachelX + 1 56002 KachelY 13637 -0.45703040 1.40500481 -26.185913 80.500846
    Unten links KachelX 56001 KachelY + 1 13638 -0.45707834 1.40499690 -26.188660 80.500393
    Unten rechts KachelX + 1 56002 KachelY + 1 13638 -0.45703040 1.40499690 -26.185913 80.500393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40500481-1.40499690) × R
    7.91000000011088e-06 × 6371000     		dl = 50.3946100007064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40500481-1.40499690) × R
    7.91000000011088e-06 × 6371000     		dr = 50.3946100007064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45707834--0.45703040) × cos(1.40500481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.165033046152062 × 6371000     		do = 50.4053402454731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45707834--0.45703040) × cos(1.40499690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.165040847685279 × 6371000     		du = 50.407723034529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40500481)-sin(1.40499690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165033046152062-0.165040847685279)×R²
    abs(-0.45703040--0.45707834)×7.80153321680577e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.80153321680577e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.80153321680577e-06×40589641000000     		ar = 2540.21750356966m²