Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56000 / 87039
↖ ↑ ↗
← S 50.734717°
W 26.191406°		 ← 193.27 m → S 50.734717°
W 26.188660°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 50.736455°
W 26.191406°		 ← 193.26 m →
37 357 m²		 S 50.736455°
W 26.188660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427249908447266 y=0.664058685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427249908447266 × 217)
    floor (0.427249908447266 × 131072)
    floor (56000.5)     		tx = 56000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664058685302734 × 217)
    floor (0.664058685302734 × 131072)
    floor (87039.5)     		ty = 87039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56000 / 87039 ti = "17/56000/87039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56000/87039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56000 ÷ 217
    56000 ÷ 131072     		x = 0.42724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87039 ÷ 217
    87039 ÷ 131072     		y = 0.664054870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664054870605469 × 2 - 1) × π
    -0.328109741210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03078715253007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45712627} λ = -0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03078715253007))-π/2
    2×atan(0.356726052210251)-π/2
    2×0.342654236576016-π/2
    0.685308473152032-1.57079632675     		φ = -0.88548785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88548785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.734717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56000 KachelY 87039 -0.45712627 -0.88548785 -26.191406 -50.734717
    Oben rechts KachelX + 1 56001 KachelY 87039 -0.45707834 -0.88548785 -26.188660 -50.734717
    Unten links KachelX 56000 KachelY + 1 87040 -0.45712627 -0.88551819 -26.191406 -50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 56001 KachelY + 1 87040 -0.45707834 -0.88551819 -26.188660 -50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88548785--0.88551819) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88548785--0.88551819) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45712627--0.45707834) × cos(-0.88548785) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632911871716224 × 6371000     		do = 193.26725395826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45712627--0.45707834) × cos(-0.88551819) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 193.260080930044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88548785)-sin(-0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632911871716224-0.632888381473458)×R²
    abs(-0.45707834--0.45712627)×2.34902427656003e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34902427656003e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34902427656003e-05×40589641000000     		ar = 37357.120921955m²