Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5600 / 3013
↖ ↑ ↗
← N 81.193013°
W118.476562°		 ← 187.04 m → N 81.193013°
W118.465576°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
N 81.191331°
W118.476562°		 ← 187.08 m →
34 990 m²		 N 81.191331°
W118.465576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170913696289062 y=0.0919647216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170913696289062 × 215)
    floor (0.170913696289062 × 32768)
    floor (5600.5)     		tx = 5600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0919647216796875 × 215)
    floor (0.0919647216796875 × 32768)
    floor (3013.5)     		ty = 3013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5600 / 3013 ti = "15/5600/3013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5600/3013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5600 ÷ 215
    5600 ÷ 32768     		x = 0.1708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3013 ÷ 215
    3013 ÷ 32768     		y = 0.091949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1708984375 × 2 - 1) × π
    -0.658203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06780610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091949462890625 × 2 - 1) × π
    0.81610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56385713927908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06780610} λ = -2.06780610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56385713927908))-π/2
    2×atan(12.9858089149194)-π/2
    2×1.49394086786658-π/2
    2.98788173573315-1.57079632675     		φ = 1.41708541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06780610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.476562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41708541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.193013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5600 KachelY 3013 -2.06780610 1.41708541 -118.476562 81.193013
    Oben rechts KachelX + 1 5601 KachelY 3013 -2.06761435 1.41708541 -118.465576 81.193013
    Unten links KachelX 5600 KachelY + 1 3014 -2.06780610 1.41705605 -118.476562 81.191331
    Unten rechts KachelX + 1 5601 KachelY + 1 3014 -2.06761435 1.41705605 -118.465576 81.191331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41708541-1.41705605) × R
    2.93600000000893e-05 × 6371000     		dl = 187.052560000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41708541-1.41705605) × R
    2.93600000000893e-05 × 6371000     		dr = 187.052560000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06780610--2.06761435) × cos(1.41708541) × R
    0.000191749999999935 × 0.153106342303684 × 6371000     		do = 187.040717182053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06780610--2.06761435) × cos(1.41705605) × R
    0.000191749999999935 × 0.153135356075029 × 6371000     		du = 187.076161543918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41708541)-sin(1.41705605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153106342303684-0.153135356075029)×R²
    abs(-2.06761435--2.06780610)×2.90137713446215e-05×R²
    0.000191749999999935×2.90137713446215e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.90137713446215e-05×40589641000000     		ar = 34989.7599550953m²