Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 560 / 306
↖ ↑ ↗
← N 82.094243°
W130.781250°		 ← 1 344.22 m → N 82.094243°
W130.693359°		 →
↑
1 345.24 m
↓
↑
1 345.24 m
↓
N 82.082145°
W130.781250°		 ← 1 346.26 m →
1 809 664 m²		 N 82.082145°
W130.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1368408203125 y=0.0748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1368408203125 × 212)
    floor (0.1368408203125 × 4096)
    floor (560.5)     		tx = 560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0748291015625 × 212)
    floor (0.0748291015625 × 4096)
    floor (306.5)     		ty = 306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 560 / 306 ti = "12/560/306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/560/306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 560 ÷ 212
    560 ÷ 4096     		x = 0.13671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 306 ÷ 212
    306 ÷ 4096     		y = 0.07470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13671875 × 2 - 1) × π
    -0.7265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28256341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07470703125 × 2 - 1) × π
    0.8505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67219453242041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28256341} λ = -2.28256341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67219453242041))-π/2
    2×atan(14.4716929700433)-π/2
    2×1.50180557885952-π/2
    3.00361115771904-1.57079632675     		φ = 1.43281483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28256341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43281483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.094243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 560 KachelY 306 -2.28256341 1.43281483 -130.781250 82.094243
    Oben rechts KachelX + 1 561 KachelY 306 -2.28102943 1.43281483 -130.693359 82.094243
    Unten links KachelX 560 KachelY + 1 307 -2.28256341 1.43260368 -130.781250 82.082145
    Unten rechts KachelX + 1 561 KachelY + 1 307 -2.28102943 1.43260368 -130.693359 82.082145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43281483-1.43260368) × R
    0.00021115000000016 × 6371000     		dl = 1345.23665000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43281483-1.43260368) × R
    0.00021115000000016 × 6371000     		dr = 1345.23665000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28256341--2.28102943) × cos(1.43281483) × R
    0.00153398000000005 × 0.137544077565399 × 6371000     		do = 1344.21642420516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28256341--2.28102943) × cos(1.43260368) × R
    0.00153398000000005 × 0.137753217653554 × 6371000     		du = 1346.26034748004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43281483)-sin(1.43260368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137544077565399-0.137753217653554)×R²
    abs(-2.28102943--2.28256341)×0.000209140088155452×R²
    0.00153398000000005×0.000209140088155452×6371000²
    0.00153398000000005×0.000209140088155452×40589641000000     		ar = 1809663.98634786m²