Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 560 / 1629
↖ ↑ ↗
← S 72.235514°
W 81.562500°		 ← 5 963.58 m → S 72.235514°
W 81.386719°		 →
↑
5 954.91 m
↓
↑
5 954.91 m
↓
S 72.289067°
W 81.562500°		 ← 5 946.17 m →
35 460 750 m²		 S 72.289067°
W 81.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273681640625 y=0.795654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273681640625 × 211)
    floor (0.273681640625 × 2048)
    floor (560.5)     		tx = 560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795654296875 × 211)
    floor (0.795654296875 × 2048)
    floor (1629.5)     		ty = 1629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 560 / 1629 ti = "11/560/1629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/560/1629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 560 ÷ 211
    560 ÷ 2048     		x = 0.2734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1629 ÷ 211
    1629 ÷ 2048     		y = 0.79541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2734375 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42353417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79541015625 × 2 - 1) × π
    -0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42353417} λ = -1.42353417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85611675328857))-π/2
    2×atan(0.156278320859607)-π/2
    2×0.15502438771513-π/2
    0.31004877543026-1.57079632675     		φ = -1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42353417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 560 KachelY 1629 -1.42353417 -1.26074755 -81.562500 -72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 561 KachelY 1629 -1.42046621 -1.26074755 -81.386719 -72.235514
    Unten links KachelX 560 KachelY + 1 1630 -1.42353417 -1.26168224 -81.562500 -72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 561 KachelY + 1 1630 -1.42046621 -1.26168224 -81.386719 -72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26074755--1.26168224) × R
    0.000934690000000016 × 6371000     		dl = 5954.9099900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26074755--1.26168224) × R
    0.000934690000000016 × 6371000     		dr = 5954.9099900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42353417--1.42046621) × cos(-1.26074755) × R
    0.00306795999999987 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 5963.57585828571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42353417--1.42046621) × cos(-1.26168224) × R
    0.00306795999999987 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 5946.1749403079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26074755)-sin(-1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.304214831957139)×R²
    abs(-1.42046621--1.42353417)×0.000890255902602999×R²
    0.00306795999999987×0.000890255902602999×6371000²
    0.00306795999999987×0.000890255902602999×40589641000000     		ar = 35460749.5861548m²