Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55999 / 28611
↖ ↑ ↗
← N 70.668154°
W 26.194153°		 ← 101.11 m → N 70.668154°
W 26.191406°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
N 70.667245°
W 26.194153°		 ← 101.11 m →
10 223 m²		 N 70.667245°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427242279052734 y=0.218288421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427242279052734 × 217)
    floor (0.427242279052734 × 131072)
    floor (55999.5)     		tx = 55999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218288421630859 × 217)
    floor (0.218288421630859 × 131072)
    floor (28611.5)     		ty = 28611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55999 / 28611 ti = "17/55999/28611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55999/28611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55999 ÷ 217
    55999 ÷ 131072     		x = 0.427238464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28611 ÷ 217
    28611 ÷ 131072     		y = 0.218284606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427238464355469 × 2 - 1) × π
    -0.145523071289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45717421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218284606933594 × 2 - 1) × π
    0.563430786132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.77007001847057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45717421} λ = -0.45717421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77007001847057))-π/2
    2×atan(5.87126444394745)-π/2
    2×1.40209414151398-π/2
    2.80418828302795-1.57079632675     		φ = 1.23339196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45717421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.194153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23339196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.668154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55999 KachelY 28611 -0.45717421 1.23339196 -26.194153 70.668154
    Oben rechts KachelX + 1 56000 KachelY 28611 -0.45712627 1.23339196 -26.191406 70.668154
    Unten links KachelX 55999 KachelY + 1 28612 -0.45717421 1.23337609 -26.194153 70.667245
    Unten rechts KachelX + 1 56000 KachelY + 1 28612 -0.45712627 1.23337609 -26.191406 70.667245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23339196-1.23337609) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dl = 101.107770000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23339196-1.23337609) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dr = 101.107770000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45717421--0.45712627) × cos(1.23339196) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.331038926171834 × 6371000     		do = 101.107808994889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45717421--0.45712627) × cos(1.23337609) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.331053901333506 × 6371000     		du = 101.112382794724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23339196)-sin(1.23337609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331038926171834-0.331053901333506)×R²
    abs(-0.45712627--0.45717421)×1.49751616720373e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49751616720373e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49751616720373e-05×40589641000000     		ar = 10223.016320768m²