Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55999 / 19163
↖ ↑ ↗
← N 77.639481°
W 26.194153°		 ← 65.38 m → N 77.639481°
W 26.191406°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.638894°
W 26.194153°		 ← 65.38 m →
4 274 m²		 N 77.638894°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427242279052734 y=0.146205902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427242279052734 × 217)
    floor (0.427242279052734 × 131072)
    floor (55999.5)     		tx = 55999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146205902099609 × 217)
    floor (0.146205902099609 × 131072)
    floor (19163.5)     		ty = 19163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55999 / 19163 ti = "17/55999/19163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55999/19163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55999 ÷ 217
    55999 ÷ 131072     		x = 0.427238464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19163 ÷ 217
    19163 ÷ 131072     		y = 0.146202087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427238464355469 × 2 - 1) × π
    -0.145523071289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45717421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146202087402344 × 2 - 1) × π
    0.707595825195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.22297784608086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45717421} λ = -0.45717421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22297784608086))-π/2
    2×atan(9.23478974388143)-π/2
    2×1.4629304557508-π/2
    2.92586091150161-1.57079632675     		φ = 1.35506458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45717421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.194153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35506458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.639481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55999 KachelY 19163 -0.45717421 1.35506458 -26.194153 77.639481
    Oben rechts KachelX + 1 56000 KachelY 19163 -0.45712627 1.35506458 -26.191406 77.639481
    Unten links KachelX 55999 KachelY + 1 19164 -0.45717421 1.35505432 -26.194153 77.638894
    Unten rechts KachelX + 1 56000 KachelY + 1 19164 -0.45712627 1.35505432 -26.191406 77.638894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35506458-1.35505432) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dl = 65.3664600002528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35506458-1.35505432) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dr = 65.3664600002528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45717421--0.45712627) × cos(1.35506458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.214062270463336 × 6371000     		do = 65.3801273623774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45717421--0.45712627) × cos(1.35505432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.214072292625437 × 6371000     		du = 65.3831883886535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35506458)-sin(1.35505432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214062270463336-0.214072292625437)×R²
    abs(-0.45712627--0.45717421)×1.00221621008312e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00221621008312e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00221621008312e-05×40589641000000     		ar = 4273.76752421123m²