Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55998 / 87106
↖ ↑ ↗
← S 50.851041°
W 26.196899°		 ← 192.83 m → S 50.851041°
W 26.194153°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
S 50.852775°
W 26.196899°		 ← 192.82 m →
37 174 m²		 S 50.852775°
W 26.194153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427234649658203 y=0.664569854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427234649658203 × 217)
    floor (0.427234649658203 × 131072)
    floor (55998.5)     		tx = 55998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664569854736328 × 217)
    floor (0.664569854736328 × 131072)
    floor (87106.5)     		ty = 87106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55998 / 87106 ti = "17/55998/87106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55998/87106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55998 ÷ 217
    55998 ÷ 131072     		x = 0.427230834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87106 ÷ 217
    87106 ÷ 131072     		y = 0.664566040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427230834960938 × 2 - 1) × π
    -0.145538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45722215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664566040039062 × 2 - 1) × π
    -0.329132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03399892480461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45722215} λ = -0.45722215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03399892480461))-π/2
    2×atan(0.355582167298387)-π/2
    2×0.34163911551697-π/2
    0.68327823103394-1.57079632675     		φ = -0.88751810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45722215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.196899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88751810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.851041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55998 KachelY 87106 -0.45722215 -0.88751810 -26.196899 -50.851041
    Oben rechts KachelX + 1 55999 KachelY 87106 -0.45717421 -0.88751810 -26.194153 -50.851041
    Unten links KachelX 55998 KachelY + 1 87107 -0.45722215 -0.88754836 -26.196899 -50.852775
    Unten rechts KachelX + 1 55999 KachelY + 1 87107 -0.45717421 -0.88754836 -26.194153 -50.852775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88751810--0.88754836) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dl = 192.78646000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88751810--0.88754836) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dr = 192.78646000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45722215--0.45717421) × cos(-0.88751810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		do = 192.827089769375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45722215--0.45717421) × cos(-0.88754836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631315233292636 × 6371000     		du = 192.81992230155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88751810)-sin(-0.88754836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631338700430101-0.631315233292636)×R²
    abs(-0.45717421--0.45722215)×2.34671374647055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34671374647055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34671374647055e-05×40589641000000     		ar = 37173.76113627m²