Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55998 / 13636
↖ ↑ ↗
← N 80.501299°
W 26.196899°		 ← 50.40 m → N 80.501299°
W 26.194153°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.500846°
W 26.196899°		 ← 50.41 m →
2 540 m²		 N 80.500846°
W 26.194153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427234649658203 y=0.104038238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427234649658203 × 217)
    floor (0.427234649658203 × 131072)
    floor (55998.5)     		tx = 55998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104038238525391 × 217)
    floor (0.104038238525391 × 131072)
    floor (13636.5)     		ty = 13636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55998 / 13636 ti = "17/55998/13636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55998/13636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55998 ÷ 217
    55998 ÷ 131072     		x = 0.427230834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13636 ÷ 217
    13636 ÷ 131072     		y = 0.104034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427230834960938 × 2 - 1) × π
    -0.145538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45722215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104034423828125 × 2 - 1) × π
    0.79193115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48792509028091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45722215} λ = -0.45722215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48792509028091))-π/2
    2×atan(12.0362760068565)-π/2
    2×1.48790452543048-π/2
    2.97580905086096-1.57079632675     		φ = 1.40501272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45722215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.196899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40501272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.501299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55998 KachelY 13636 -0.45722215 1.40501272 -26.196899 80.501299
    Oben rechts KachelX + 1 55999 KachelY 13636 -0.45717421 1.40501272 -26.194153 80.501299
    Unten links KachelX 55998 KachelY + 1 13637 -0.45722215 1.40500481 -26.196899 80.500846
    Unten rechts KachelX + 1 55999 KachelY + 1 13637 -0.45717421 1.40500481 -26.194153 80.500846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40501272-1.40500481) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dl = 50.3946099992918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40501272-1.40500481) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dr = 50.3946099992918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45722215--0.45717421) × cos(1.40501272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16502524460852 × 6371000     		do = 50.4029574532052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45722215--0.45717421) × cos(1.40500481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165033046152062 × 6371000     		du = 50.4053402454148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40501272)-sin(1.40500481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16502524460852-0.165033046152062)×R²
    abs(-0.45717421--0.45722215)×7.8015435423795e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.8015435423795e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.8015435423795e-06×40589641000000     		ar = 2540.09742371551m²