Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55997 / 87037
↖ ↑ ↗
← S 50.731240°
W 26.199646°		 ← 193.32 m → S 50.731240°
W 26.196899°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 50.732978°
W 26.199646°		 ← 193.31 m →
37 368 m²		 S 50.732978°
W 26.196899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427227020263672 y=0.664043426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427227020263672 × 217)
    floor (0.427227020263672 × 131072)
    floor (55997.5)     		tx = 55997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664043426513672 × 217)
    floor (0.664043426513672 × 131072)
    floor (87037.5)     		ty = 87037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55997 / 87037 ti = "17/55997/87037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55997/87037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55997 ÷ 217
    55997 ÷ 131072     		x = 0.427223205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87037 ÷ 217
    87037 ÷ 131072     		y = 0.664039611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427223205566406 × 2 - 1) × π
    -0.145553588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45727009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664039611816406 × 2 - 1) × π
    -0.328079223632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03069127873083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45727009} λ = -0.45727009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03069127873083))-π/2
    2×atan(0.356760254531691)-π/2
    2×0.342684577534782-π/2
    0.685369155069565-1.57079632675     		φ = -0.88542717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45727009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.199646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88542717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.731240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55997 KachelY 87037 -0.45727009 -0.88542717 -26.199646 -50.731240
    Oben rechts KachelX + 1 55998 KachelY 87037 -0.45722215 -0.88542717 -26.196899 -50.731240
    Unten links KachelX 55997 KachelY + 1 87038 -0.45727009 -0.88545751 -26.199646 -50.732978
    Unten rechts KachelX + 1 55998 KachelY + 1 87038 -0.45722215 -0.88545751 -26.196899 -50.732978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88542717--0.88545751) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dl = 193.296139999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88542717--0.88545751) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dr = 193.296139999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45727009--0.45722215) × cos(-0.88542717) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632958850453917 × 6371000     		do = 193.321925289534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45727009--0.45722215) × cos(-0.88545751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632935361376384 × 6371000     		du = 193.314751120647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88542717)-sin(-0.88545751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632958850453917-0.632935361376384)×R²
    abs(-0.45722215--0.45727009)×2.34890775333563e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34890775333563e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34890775333563e-05×40589641000000     		ar = 37367.6885690849m²