Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55997 / 87029
↖ ↑ ↗
← S 50.717330°
W 26.199646°		 ← 193.38 m → S 50.717330°
W 26.196899°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
S 50.719069°
W 26.199646°		 ← 193.37 m →
37 391 m²		 S 50.719069°
W 26.196899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427227020263672 y=0.663982391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427227020263672 × 217)
    floor (0.427227020263672 × 131072)
    floor (55997.5)     		tx = 55997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663982391357422 × 217)
    floor (0.663982391357422 × 131072)
    floor (87029.5)     		ty = 87029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55997 / 87029 ti = "17/55997/87029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55997/87029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55997 ÷ 217
    55997 ÷ 131072     		x = 0.427223205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87029 ÷ 217
    87029 ÷ 131072     		y = 0.663978576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427223205566406 × 2 - 1) × π
    -0.145553588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45727009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663978576660156 × 2 - 1) × π
    -0.327957153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03030778353387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45727009} λ = -0.45727009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03030778353387))-π/2
    2×atan(0.356897096613234)-π/2
    2×0.34280596389154-π/2
    0.685611927783079-1.57079632675     		φ = -0.88518440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45727009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.199646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88518440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.717330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55997 KachelY 87029 -0.45727009 -0.88518440 -26.199646 -50.717330
    Oben rechts KachelX + 1 55998 KachelY 87029 -0.45722215 -0.88518440 -26.196899 -50.717330
    Unten links KachelX 55997 KachelY + 1 87030 -0.45727009 -0.88521475 -26.199646 -50.719069
    Unten rechts KachelX + 1 55998 KachelY + 1 87030 -0.45722215 -0.88521475 -26.196899 -50.719069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88518440--0.88521475) × R
    3.03500000000678e-05 × 6371000     		dl = 193.359850000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88518440--0.88521475) × R
    3.03500000000678e-05 × 6371000     		dr = 193.359850000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45727009--0.45722215) × cos(-0.88518440) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633146780798612 × 6371000     		do = 193.379324054131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45727009--0.45722215) × cos(-0.88521475) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633123288643322 × 6371000     		du = 193.372148945217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88518440)-sin(-0.88521475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633146780798612-0.633123288643322)×R²
    abs(-0.45722215--0.45727009)×2.34921552894063e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34921552894063e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34921552894063e-05×40589641000000     		ar = 37391.1034062012m²