Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55996 / 29043
↖ ↑ ↗
← N 70.271508°
W 26.202392°		 ← 103.08 m → N 70.271508°
W 26.199646°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.270581°
W 26.202392°		 ← 103.08 m →
10 626 m²		 N 70.270581°
W 26.199646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427219390869141 y=0.221584320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427219390869141 × 217)
    floor (0.427219390869141 × 131072)
    floor (55996.5)     		tx = 55996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221584320068359 × 217)
    floor (0.221584320068359 × 131072)
    floor (29043.5)     		ty = 29043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55996 / 29043 ti = "17/55996/29043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55996/29043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55996 ÷ 217
    55996 ÷ 131072     		x = 0.427215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29043 ÷ 217
    29043 ÷ 131072     		y = 0.221580505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.14556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45731802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221580505371094 × 2 - 1) × π
    0.556838989257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.74936127783471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45731802} λ = -0.45731802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74936127783471))-π/2
    2×atan(5.75092825731537)-π/2
    2×1.3986327595933-π/2
    2.79726551918659-1.57079632675     		φ = 1.22646919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45731802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.202392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22646919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.271508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55996 KachelY 29043 -0.45731802 1.22646919 -26.202392 70.271508
    Oben rechts KachelX + 1 55997 KachelY 29043 -0.45727009 1.22646919 -26.199646 70.271508
    Unten links KachelX 55996 KachelY + 1 29044 -0.45731802 1.22645301 -26.202392 70.270581
    Unten rechts KachelX + 1 55997 KachelY + 1 29044 -0.45727009 1.22645301 -26.199646 70.270581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22646919-1.22645301) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22646919-1.22645301) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45731802--0.45727009) × cos(1.22646919) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.337563385691881 × 6371000     		do = 103.079040708489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45731802--0.45727009) × cos(1.22645301) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.337578615926993 × 6371000     		du = 103.083691444001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22646919)-sin(1.22645301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337563385691881-0.337578615926993)×R²
    abs(-0.45727009--0.45731802)×1.52302351120182e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.52302351120182e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.52302351120182e-05×40589641000000     		ar = 10625.9137816283m²