Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55995 / 28607
↖ ↑ ↗
← N 70.671790°
W 26.205139°		 ← 101.09 m → N 70.671790°
W 26.202392°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
N 70.670881°
W 26.205139°		 ← 101.09 m →
10 221 m²		 N 70.670881°
W 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427211761474609 y=0.218257904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427211761474609 × 217)
    floor (0.427211761474609 × 131072)
    floor (55995.5)     		tx = 55995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218257904052734 × 217)
    floor (0.218257904052734 × 131072)
    floor (28607.5)     		ty = 28607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55995 / 28607 ti = "17/55995/28607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55995/28607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55995 ÷ 217
    55995 ÷ 131072     		x = 0.427207946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28607 ÷ 217
    28607 ÷ 131072     		y = 0.218254089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427207946777344 × 2 - 1) × π
    -0.145584106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45736596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218254089355469 × 2 - 1) × π
    0.563491821289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.77026176606905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45736596} λ = -0.45736596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77026176606905))-π/2
    2×atan(5.87239035274632)-π/2
    2×1.40212587660274-π/2
    2.80425175320549-1.57079632675     		φ = 1.23345543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45736596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.205139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23345543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.671790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55995 KachelY 28607 -0.45736596 1.23345543 -26.205139 70.671790
    Oben rechts KachelX + 1 55996 KachelY 28607 -0.45731802 1.23345543 -26.202392 70.671790
    Unten links KachelX 55995 KachelY + 1 28608 -0.45736596 1.23343956 -26.205139 70.670881
    Unten rechts KachelX + 1 55996 KachelY + 1 28608 -0.45731802 1.23343956 -26.202392 70.670881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23345543-1.23343956) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dl = 101.107769999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23345543-1.23343956) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dr = 101.107769999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45736596--0.45731802) × cos(1.23345543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.330979034127821 × 6371000     		do = 101.089516423026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45736596--0.45731802) × cos(1.23343956) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.330994009622915 × 6371000     		du = 101.094090324697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23345543)-sin(1.23343956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330979034127821-0.330994009622915)×R²
    abs(-0.45731802--0.45736596)×1.49754950944381e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49754950944381e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49754950944381e-05×40589641000000     		ar = 10221.1668044678m²