Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55995 / 14044
↖ ↑ ↗
← N 80.314576°
W 26.205139°		 ← 51.38 m → N 80.314576°
W 26.202392°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.314114°
W 26.205139°		 ← 51.39 m →
2 639 m²		 N 80.314114°
W 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427211761474609 y=0.107151031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427211761474609 × 217)
    floor (0.427211761474609 × 131072)
    floor (55995.5)     		tx = 55995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107151031494141 × 217)
    floor (0.107151031494141 × 131072)
    floor (14044.5)     		ty = 14044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55995 / 14044 ti = "17/55995/14044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55995/14044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55995 ÷ 217
    55995 ÷ 131072     		x = 0.427207946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14044 ÷ 217
    14044 ÷ 131072     		y = 0.107147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427207946777344 × 2 - 1) × π
    -0.145584106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45736596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107147216796875 × 2 - 1) × π
    0.78570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46836683523593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45736596} λ = -0.45736596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46836683523593))-π/2
    2×atan(11.8031546060191)-π/2
    2×1.48627505965115-π/2
    2.9725501193023-1.57079632675     		φ = 1.40175379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45736596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.205139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40175379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.314576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55995 KachelY 14044 -0.45736596 1.40175379 -26.205139 80.314576
    Oben rechts KachelX + 1 55996 KachelY 14044 -0.45731802 1.40175379 -26.202392 80.314576
    Unten links KachelX 55995 KachelY + 1 14045 -0.45736596 1.40174573 -26.205139 80.314114
    Unten rechts KachelX + 1 55996 KachelY + 1 14045 -0.45731802 1.40174573 -26.202392 80.314114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40175379-1.40174573) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40175379-1.40174573) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45736596--0.45731802) × cos(1.40175379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.1682386105136 × 6371000     		do = 51.3844021127138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45736596--0.45731802) × cos(1.40174573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168246555623321 × 6371000     		du = 51.3868287537298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40175379)-sin(1.40174573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1682386105136-0.168246555623321)×R²
    abs(-0.45731802--0.45736596)×7.94510972135232e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.94510972135232e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.94510972135232e-06×40589641000000     		ar = 2638.66471280579m²