Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55994 / 43870
↖ ↑ ↗
← N 51.017211°
W 26.207886°		 ← 192.14 m → N 51.017211°
W 26.205139°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.015483°
W 26.207886°		 ← 192.15 m →
36 920 m²		 N 51.015483°
W 26.205139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427204132080078 y=0.334705352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427204132080078 × 217)
    floor (0.427204132080078 × 131072)
    floor (55994.5)     		tx = 55994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334705352783203 × 217)
    floor (0.334705352783203 × 131072)
    floor (43870.5)     		ty = 43870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55994 / 43870 ti = "17/55994/43870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55994/43870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55994 ÷ 217
    55994 ÷ 131072     		x = 0.427200317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43870 ÷ 217
    43870 ÷ 131072     		y = 0.334701538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.145599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45741390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334701538085938 × 2 - 1) × π
    0.330596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03860086716814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45741390} λ = -0.45741390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03860086716814))-π/2
    2×atan(2.82526133184624)-π/2
    2×1.23060731227484-π/2
    2.46121462454968-1.57079632675     		φ = 0.89041830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45741390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.207886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89041830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.017211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55994 KachelY 43870 -0.45741390 0.89041830 -26.207886 51.017211
    Oben rechts KachelX + 1 55995 KachelY 43870 -0.45736596 0.89041830 -26.205139 51.017211
    Unten links KachelX 55994 KachelY + 1 43871 -0.45741390 0.89038814 -26.207886 51.015483
    Unten rechts KachelX + 1 55995 KachelY + 1 43871 -0.45736596 0.89038814 -26.205139 51.015483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89041830-0.89038814) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89041830-0.89038814) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45741390--0.45736596) × cos(0.89041830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629086922405536 × 6371000     		do = 192.139338799908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45741390--0.45736596) × cos(0.89038814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629110366541888 × 6371000     		du = 192.146499242601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89041830)-sin(0.89038814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629086922405536-0.629110366541888)×R²
    abs(-0.45736596--0.45741390)×2.34441363512472e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34441363512472e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34441363512472e-05×40589641000000     		ar = 36920.1389213755m²