Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55994 / 29041
↖ ↑ ↗
← N 70.273362°
W 26.207886°		 ← 103.09 m → N 70.273362°
W 26.205139°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.272435°
W 26.207886°		 ← 103.10 m →
10 627 m²		 N 70.272435°
W 26.205139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427204132080078 y=0.221569061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427204132080078 × 217)
    floor (0.427204132080078 × 131072)
    floor (55994.5)     		tx = 55994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221569061279297 × 217)
    floor (0.221569061279297 × 131072)
    floor (29041.5)     		ty = 29041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55994 / 29041 ti = "17/55994/29041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55994/29041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55994 ÷ 217
    55994 ÷ 131072     		x = 0.427200317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29041 ÷ 217
    29041 ÷ 131072     		y = 0.221565246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.145599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45741390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221565246582031 × 2 - 1) × π
    0.556869506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.74945715163395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45741390} λ = -0.45741390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74945715163395))-π/2
    2×atan(5.75147964708805)-π/2
    2×1.39864894060517-π/2
    2.79729788121035-1.57079632675     		φ = 1.22650155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45741390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.207886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22650155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.273362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55994 KachelY 29041 -0.45741390 1.22650155 -26.207886 70.273362
    Oben rechts KachelX + 1 55995 KachelY 29041 -0.45736596 1.22650155 -26.205139 70.273362
    Unten links KachelX 55994 KachelY + 1 29042 -0.45741390 1.22648537 -26.207886 70.272435
    Unten rechts KachelX + 1 55995 KachelY + 1 29042 -0.45736596 1.22648537 -26.205139 70.272435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22650155-1.22648537) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22650155-1.22648537) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45741390--0.45736596) × cos(1.22650155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337532924956546 × 6371000     		do = 103.09124337915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45741390--0.45736596) × cos(1.22648537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		du = 103.09589513896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22650155)-sin(1.22648537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337532924956546-0.337548155368397)×R²
    abs(-0.45736596--0.45741390)×1.5230411851086e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5230411851086e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5230411851086e-05×40589641000000     		ar = 10627.1717195482m²