Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55993 / 29042
↖ ↑ ↗
← N 70.272435°
W 26.210632°		 ← 103.07 m → N 70.272435°
W 26.207886°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.271508°
W 26.210632°		 ← 103.08 m →
10 625 m²		 N 70.271508°
W 26.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427196502685547 y=0.221576690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427196502685547 × 217)
    floor (0.427196502685547 × 131072)
    floor (55993.5)     		tx = 55993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221576690673828 × 217)
    floor (0.221576690673828 × 131072)
    floor (29042.5)     		ty = 29042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55993 / 29042 ti = "17/55993/29042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55993/29042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55993 ÷ 217
    55993 ÷ 131072     		x = 0.427192687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29042 ÷ 217
    29042 ÷ 131072     		y = 0.221572875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427192687988281 × 2 - 1) × π
    -0.145614624023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45746183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221572875976562 × 2 - 1) × π
    0.556854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74940921473433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45746183} λ = -0.45746183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74940921473433))-π/2
    2×atan(5.75120394559374)-π/2
    2×1.39864085028177-π/2
    2.79728170056354-1.57079632675     		φ = 1.22648537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45746183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.210632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22648537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.272435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55993 KachelY 29042 -0.45746183 1.22648537 -26.210632 70.272435
    Oben rechts KachelX + 1 55994 KachelY 29042 -0.45741390 1.22648537 -26.207886 70.272435
    Unten links KachelX 55993 KachelY + 1 29043 -0.45746183 1.22646919 -26.210632 70.271508
    Unten rechts KachelX + 1 55994 KachelY + 1 29043 -0.45741390 1.22646919 -26.207886 70.271508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22648537-1.22646919) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22648537-1.22646919) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45746183--0.45741390) × cos(1.22648537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		do = 103.074389946112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45746183--0.45741390) × cos(1.22646919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337563385691881 × 6371000     		du = 103.079040708609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22648537)-sin(1.22646919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337548155368397-0.337563385691881)×R²
    abs(-0.45741390--0.45746183)×1.5230323483606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5230323483606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5230323483606e-05×40589641000000     		ar = 10625.4343695808m²