Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55992 / 43576
↖ ↑ ↗
← N 51.522416°
W 26.213379°		 ← 190.04 m → N 51.522416°
W 26.210632°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
N 51.520707°
W 26.213379°		 ← 190.05 m →
36 117 m²		 N 51.520707°
W 26.210632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427188873291016 y=0.332462310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427188873291016 × 217)
    floor (0.427188873291016 × 131072)
    floor (55992.5)     		tx = 55992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332462310791016 × 217)
    floor (0.332462310791016 × 131072)
    floor (43576.5)     		ty = 43576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55992 / 43576 ti = "17/55992/43576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55992/43576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55992 ÷ 217
    55992 ÷ 131072     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43576 ÷ 217
    43576 ÷ 131072     		y = 0.33245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33245849609375 × 2 - 1) × π
    0.3350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05269431565643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05269431565643))-π/2
    2×atan(2.86536091385895)-π/2
    2×1.23501606299942-π/2
    2.47003212599885-1.57079632675     		φ = 0.89923580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89923580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.522416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55992 KachelY 43576 -0.45750977 0.89923580 -26.213379 51.522416
    Oben rechts KachelX + 1 55993 KachelY 43576 -0.45746183 0.89923580 -26.210632 51.522416
    Unten links KachelX 55992 KachelY + 1 43577 -0.45750977 0.89920597 -26.213379 51.520707
    Unten rechts KachelX + 1 55993 KachelY + 1 43577 -0.45746183 0.89920597 -26.210632 51.520707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89923580-0.89920597) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89923580-0.89920597) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45746183) × cos(0.89923580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622208405126124 × 6371000     		do = 190.038462569742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45746183) × cos(0.89920597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62223175731391 × 6371000     		du = 190.045594928977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89923580)-sin(0.89920597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622208405126124-0.62223175731391)×R²
    abs(-0.45746183--0.45750977)×2.33521877852638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33521877852638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33521877852638e-05×40589641000000     		ar = 36116.904137449m²