Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55992 / 29048
↖ ↑ ↗
← N 70.266872°
W 26.213379°		 ← 103.12 m → N 70.266872°
W 26.210632°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.265945°
W 26.213379°		 ← 103.13 m →
10 631 m²		 N 70.265945°
W 26.210632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427188873291016 y=0.221622467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427188873291016 × 217)
    floor (0.427188873291016 × 131072)
    floor (55992.5)     		tx = 55992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221622467041016 × 217)
    floor (0.221622467041016 × 131072)
    floor (29048.5)     		ty = 29048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55992 / 29048 ti = "17/55992/29048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55992/29048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55992 ÷ 217
    55992 ÷ 131072     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29048 ÷ 217
    29048 ÷ 131072     		y = 0.22161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22161865234375 × 2 - 1) × π
    0.5567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74912159333661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74912159333661))-π/2
    2×atan(5.74955001414077)-π/2
    2×1.39859230067436-π/2
    2.79718460134872-1.57079632675     		φ = 1.22638827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22638827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.266872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55992 KachelY 29048 -0.45750977 1.22638827 -26.213379 70.266872
    Oben rechts KachelX + 1 55993 KachelY 29048 -0.45746183 1.22638827 -26.210632 70.266872
    Unten links KachelX 55992 KachelY + 1 29049 -0.45750977 1.22637209 -26.213379 70.265945
    Unten rechts KachelX + 1 55993 KachelY + 1 29049 -0.45746183 1.22637209 -26.210632 70.265945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22638827-1.22637209) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22638827-1.22637209) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45746183) × cos(1.22638827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337639554809156 × 6371000     		do = 103.123810880789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45746183) × cos(1.22637209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337654784602241 × 6371000     		du = 103.128462451612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22638827)-sin(1.22637209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337639554809156-0.337654784602241)×R²
    abs(-0.45746183--0.45750977)×1.52297930853251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52297930853251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52297930853251e-05×40589641000000     		ar = 10630.5288584759m²