Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55991 / 43875
↖ ↑ ↗
← N 51.008570°
W 26.216126°		 ← 192.18 m → N 51.008570°
W 26.213379°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.006842°
W 26.216126°		 ← 192.18 m →
36 927 m²		 N 51.006842°
W 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427181243896484 y=0.334743499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427181243896484 × 217)
    floor (0.427181243896484 × 131072)
    floor (55991.5)     		tx = 55991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334743499755859 × 217)
    floor (0.334743499755859 × 131072)
    floor (43875.5)     		ty = 43875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55991 / 43875 ti = "17/55991/43875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55991/43875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55991 ÷ 217
    55991 ÷ 131072     		x = 0.427177429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43875 ÷ 217
    43875 ÷ 131072     		y = 0.334739685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427177429199219 × 2 - 1) × π
    -0.145645141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45755771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334739685058594 × 2 - 1) × π
    0.330520629882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03836118267004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45755771} λ = -0.45755771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03836118267004))-π/2
    2×atan(2.82458424164917)-π/2
    2×1.23053191405959-π/2
    2.46106382811918-1.57079632675     		φ = 0.89026750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45755771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.216126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89026750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.008570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55991 KachelY 43875 -0.45755771 0.89026750 -26.216126 51.008570
    Oben rechts KachelX + 1 55992 KachelY 43875 -0.45750977 0.89026750 -26.213379 51.008570
    Unten links KachelX 55991 KachelY + 1 43876 -0.45755771 0.89023734 -26.216126 51.006842
    Unten rechts KachelX + 1 55992 KachelY + 1 43876 -0.45750977 0.89023734 -26.213379 51.006842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89026750-0.89023734) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89026750-0.89023734) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45755771--0.45750977) × cos(0.89026750) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629204137364531 × 6371000     		do = 192.17513926572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45755771--0.45750977) × cos(0.89023734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629227578639394 × 6371000     		du = 192.182298834442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89026750)-sin(0.89023734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629204137364531-0.629227578639394)×R²
    abs(-0.45750977--0.45755771)×2.34412748635338e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34412748635338e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34412748635338e-05×40589641000000     		ar = 36927.0178738673m²