Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55991 / 43868
↖ ↑ ↗
← N 51.020666°
W 26.216126°		 ← 192.13 m → N 51.020666°
W 26.213379°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.018938°
W 26.216126°		 ← 192.13 m →
36 917 m²		 N 51.018938°
W 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427181243896484 y=0.334690093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427181243896484 × 217)
    floor (0.427181243896484 × 131072)
    floor (55991.5)     		tx = 55991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334690093994141 × 217)
    floor (0.334690093994141 × 131072)
    floor (43868.5)     		ty = 43868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55991 / 43868 ti = "17/55991/43868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55991/43868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55991 ÷ 217
    55991 ÷ 131072     		x = 0.427177429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43868 ÷ 217
    43868 ÷ 131072     		y = 0.334686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427177429199219 × 2 - 1) × π
    -0.145645141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45755771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334686279296875 × 2 - 1) × π
    0.33062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03869674096738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45755771} λ = -0.45755771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03869674096738))-π/2
    2×atan(2.82553221336898)-π/2
    2×1.23063746762786-π/2
    2.46127493525573-1.57079632675     		φ = 0.89047861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45755771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.216126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89047861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.020666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55991 KachelY 43868 -0.45755771 0.89047861 -26.216126 51.020666
    Oben rechts KachelX + 1 55992 KachelY 43868 -0.45750977 0.89047861 -26.213379 51.020666
    Unten links KachelX 55991 KachelY + 1 43869 -0.45755771 0.89044845 -26.216126 51.018938
    Unten rechts KachelX + 1 55992 KachelY + 1 43869 -0.45750977 0.89044845 -26.213379 51.018938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89047861-0.89044845) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89047861-0.89044845) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45755771--0.45750977) × cos(0.89047861) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629040040189884 × 6371000     		do = 192.125019764721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45755771--0.45750977) × cos(0.89044845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629063485470491 × 6371000     		du = 192.1321805569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89047861)-sin(0.89044845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629040040189884-0.629063485470491)×R²
    abs(-0.45750977--0.45755771)×2.34452806073815e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34452806073815e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34452806073815e-05×40589641000000     		ar = 36917.3875614421m²