Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55991 / 29126
↖ ↑ ↗
← N 70.194411°
W 26.216126°		 ← 103.49 m → N 70.194411°
W 26.213379°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 70.193481°
W 26.216126°		 ← 103.49 m →
10 708 m²		 N 70.193481°
W 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427181243896484 y=0.222217559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427181243896484 × 217)
    floor (0.427181243896484 × 131072)
    floor (55991.5)     		tx = 55991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222217559814453 × 217)
    floor (0.222217559814453 × 131072)
    floor (29126.5)     		ty = 29126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55991 / 29126 ti = "17/55991/29126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55991/29126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55991 ÷ 217
    55991 ÷ 131072     		x = 0.427177429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29126 ÷ 217
    29126 ÷ 131072     		y = 0.222213745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427177429199219 × 2 - 1) × π
    -0.145645141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45755771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222213745117188 × 2 - 1) × π
    0.555572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74538251516624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45755771} λ = -0.45755771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74538251516624))-π/2
    2×atan(5.7280921385303)-π/2
    2×1.39795995839365-π/2
    2.7959199167873-1.57079632675     		φ = 1.22512359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45755771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.216126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22512359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.194411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55991 KachelY 29126 -0.45755771 1.22512359 -26.216126 70.194411
    Oben rechts KachelX + 1 55992 KachelY 29126 -0.45750977 1.22512359 -26.213379 70.194411
    Unten links KachelX 55991 KachelY + 1 29127 -0.45755771 1.22510735 -26.216126 70.193481
    Unten rechts KachelX + 1 55992 KachelY + 1 29127 -0.45750977 1.22510735 -26.213379 70.193481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22512359-1.22510735) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22512359-1.22510735) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45755771--0.45750977) × cos(1.22512359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.338829696754137 × 6371000     		do = 103.48731086516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45755771--0.45750977) × cos(1.22510735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.338844976076465 × 6371000     		du = 103.491977563489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22512359)-sin(1.22510735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338829696754137-0.338844976076465)×R²
    abs(-0.45750977--0.45755771)×1.52793223286429e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52793223286429e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52793223286429e-05×40589641000000     		ar = 10707.5601783111m²