Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55987 / 19221
↖ ↑ ↗
← N 77.605335°
W 26.227112°		 ← 65.54 m → N 77.605335°
W 26.224365°		 →
↑
65.56 m
↓
↑
65.56 m
↓
N 77.604745°
W 26.227112°		 ← 65.55 m →
4 297 m²		 N 77.604745°
W 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427150726318359 y=0.146648406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427150726318359 × 217)
    floor (0.427150726318359 × 131072)
    floor (55987.5)     		tx = 55987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146648406982422 × 217)
    floor (0.146648406982422 × 131072)
    floor (19221.5)     		ty = 19221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55987 / 19221 ti = "17/55987/19221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55987/19221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55987 ÷ 217
    55987 ÷ 131072     		x = 0.427146911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19221 ÷ 217
    19221 ÷ 131072     		y = 0.146644592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427146911621094 × 2 - 1) × π
    -0.145706176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45774945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146644592285156 × 2 - 1) × π
    0.706710815429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.2201975059029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45774945} λ = -0.45774945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2201975059029))-π/2
    2×atan(9.2091495476725)-π/2
    2×1.46263246834159-π/2
    2.92526493668317-1.57079632675     		φ = 1.35446861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45774945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.227112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35446861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.605335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55987 KachelY 19221 -0.45774945 1.35446861 -26.227112 77.605335
    Oben rechts KachelX + 1 55988 KachelY 19221 -0.45770152 1.35446861 -26.224365 77.605335
    Unten links KachelX 55987 KachelY + 1 19222 -0.45774945 1.35445832 -26.227112 77.604745
    Unten rechts KachelX + 1 55988 KachelY + 1 19222 -0.45770152 1.35445832 -26.224365 77.604745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35446861-1.35445832) × R
    1.02900000000794e-05 × 6371000     		dl = 65.5575900005059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35446861-1.35445832) × R
    1.02900000000794e-05 × 6371000     		dr = 65.5575900005059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45774945--0.45770152) × cos(1.35446861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214644387838682 × 6371000     		do = 65.5442459985674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45774945--0.45770152) × cos(1.35445832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214654437990758 × 6371000     		du = 65.5473149334071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35446861)-sin(1.35445832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214644387838682-0.214654437990758)×R²
    abs(-0.45770152--0.45774945)×1.00501520760021e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00501520760021e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00501520760021e-05×40589641000000     		ar = 4297.02340209457m²