Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55987 / 19204
↖ ↑ ↗
← N 77.615353°
W 26.227112°		 ← 65.49 m → N 77.615353°
W 26.224365°		 →
↑
65.49 m
↓
↑
65.49 m
↓
N 77.614764°
W 26.227112°		 ← 65.50 m →
4 289 m²		 N 77.614764°
W 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427150726318359 y=0.146518707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427150726318359 × 217)
    floor (0.427150726318359 × 131072)
    floor (55987.5)     		tx = 55987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146518707275391 × 217)
    floor (0.146518707275391 × 131072)
    floor (19204.5)     		ty = 19204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55987 / 19204 ti = "17/55987/19204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55987/19204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55987 ÷ 217
    55987 ÷ 131072     		x = 0.427146911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19204 ÷ 217
    19204 ÷ 131072     		y = 0.146514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427146911621094 × 2 - 1) × π
    -0.145706176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45774945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146514892578125 × 2 - 1) × π
    0.70697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22101243319644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45774945} λ = -0.45774945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22101243319644))-π/2
    2×atan(9.21665739374805)-π/2
    2×1.46271989332937-π/2
    2.92543978665874-1.57079632675     		φ = 1.35464346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45774945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.227112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35464346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.615353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55987 KachelY 19204 -0.45774945 1.35464346 -26.227112 77.615353
    Oben rechts KachelX + 1 55988 KachelY 19204 -0.45770152 1.35464346 -26.224365 77.615353
    Unten links KachelX 55987 KachelY + 1 19205 -0.45774945 1.35463318 -26.227112 77.614764
    Unten rechts KachelX + 1 55988 KachelY + 1 19205 -0.45770152 1.35463318 -26.224365 77.614764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35464346-1.35463318) × R
    1.02799999999181e-05 × 6371000     		dl = 65.4938799994784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35464346-1.35463318) × R
    1.02799999999181e-05 × 6371000     		dr = 65.4938799994784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45774945--0.45770152) × cos(1.35464346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214473609915347 × 6371000     		do = 65.4920969052185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45774945--0.45770152) × cos(1.35463318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214483650686192 × 6371000     		du = 65.4951629753865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35464346)-sin(1.35463318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214473609915347-0.214483650686192)×R²
    abs(-0.45770152--0.45774945)×1.00407708450712e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00407708450712e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00407708450712e-05×40589641000000     		ar = 4289.43194017169m²