Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55987 / 18570
↖ ↑ ↗
← N 77.983332°
W 26.227112°		 ← 63.58 m → N 77.983332°
W 26.224365°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.982760°
W 26.227112°		 ← 63.58 m →
4 042 m²		 N 77.982760°
W 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427150726318359 y=0.141681671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427150726318359 × 217)
    floor (0.427150726318359 × 131072)
    floor (55987.5)     		tx = 55987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141681671142578 × 217)
    floor (0.141681671142578 × 131072)
    floor (18570.5)     		ty = 18570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55987 / 18570 ti = "17/55987/18570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55987/18570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55987 ÷ 217
    55987 ÷ 131072     		x = 0.427146911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18570 ÷ 217
    18570 ÷ 131072     		y = 0.141677856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427146911621094 × 2 - 1) × π
    -0.145706176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45774945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141677856445312 × 2 - 1) × π
    0.716644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25140442755556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45774945} λ = -0.45774945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25140442755556))-π/2
    2×atan(9.50107003527343)-π/2
    2×1.46593111317243-π/2
    2.93186222634486-1.57079632675     		φ = 1.36106590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45774945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.227112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36106590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.983332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55987 KachelY 18570 -0.45774945 1.36106590 -26.227112 77.983332
    Oben rechts KachelX + 1 55988 KachelY 18570 -0.45770152 1.36106590 -26.224365 77.983332
    Unten links KachelX 55987 KachelY + 1 18571 -0.45774945 1.36105592 -26.227112 77.982760
    Unten rechts KachelX + 1 55988 KachelY + 1 18571 -0.45770152 1.36105592 -26.224365 77.982760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36106590-1.36105592) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36106590-1.36105592) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45774945--0.45770152) × cos(1.36106590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20819624134656 × 6371000     		do = 63.5752268959944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45774945--0.45770152) × cos(1.36105592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208206002645194 × 6371000     		du = 63.5782076259607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36106590)-sin(1.36105592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20819624134656-0.208206002645194)×R²
    abs(-0.45770152--0.45774945)×9.76129863400343e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.76129863400343e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.76129863400343e-06×40589641000000     		ar = 4042.37171139267m²