Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55984 / 18572
↖ ↑ ↗
← N 77.982188°
W 26.235352°		 ← 63.59 m → N 77.982188°
W 26.232605°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.981616°
W 26.235352°		 ← 63.60 m →
4 044 m²		 N 77.981616°
W 26.232605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427127838134766 y=0.141696929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427127838134766 × 217)
    floor (0.427127838134766 × 131072)
    floor (55984.5)     		tx = 55984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141696929931641 × 217)
    floor (0.141696929931641 × 131072)
    floor (18572.5)     		ty = 18572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55984 / 18572 ti = "17/55984/18572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55984/18572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55984 ÷ 217
    55984 ÷ 131072     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18572 ÷ 217
    18572 ÷ 131072     		y = 0.141693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141693115234375 × 2 - 1) × π
    0.71661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25130855375632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25130855375632))-π/2
    2×atan(9.50015917525681)-π/2
    2×1.46592113242213-π/2
    2.93184226484426-1.57079632675     		φ = 1.36104594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36104594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.982188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55984 KachelY 18572 -0.45789327 1.36104594 -26.235352 77.982188
    Oben rechts KachelX + 1 55985 KachelY 18572 -0.45784533 1.36104594 -26.232605 77.982188
    Unten links KachelX 55984 KachelY + 1 18573 -0.45789327 1.36103596 -26.235352 77.981616
    Unten rechts KachelX + 1 55985 KachelY + 1 18573 -0.45784533 1.36103596 -26.232605 77.981616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36104594-1.36103596) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36104594-1.36103596) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45784533) × cos(1.36104594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.208215763923091 × 6371000     		do = 63.5944537759072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45784533) × cos(1.36103596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.208225525180249 × 6371000     		du = 63.5974351150981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36104594)-sin(1.36103596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208215763923091-0.208225525180249)×R²
    abs(-0.45784533--0.45789327)×9.76125715823617e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.76125715823617e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.76125715823617e-06×40589641000000     		ar = 4043.59422547109m²