Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55983 / 87022
↖ ↑ ↗
← S 50.705155°
W 26.238098°		 ← 193.39 m → S 50.705155°
W 26.235352°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.706895°
W 26.238098°		 ← 193.38 m →
37 405 m²		 S 50.706895°
W 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427120208740234 y=0.663928985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427120208740234 × 217)
    floor (0.427120208740234 × 131072)
    floor (55983.5)     		tx = 55983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663928985595703 × 217)
    floor (0.663928985595703 × 131072)
    floor (87022.5)     		ty = 87022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55983 / 87022 ti = "17/55983/87022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55983/87022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55983 ÷ 217
    55983 ÷ 131072     		x = 0.427116394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87022 ÷ 217
    87022 ÷ 131072     		y = 0.663925170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427116394042969 × 2 - 1) × π
    -0.145767211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45794120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663925170898438 × 2 - 1) × π
    -0.327850341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02997222523653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45794120} λ = -0.45794120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02997222523653))-π/2
    2×atan(0.357016876490741)-π/2
    2×0.342912206515483-π/2
    0.685824413030966-1.57079632675     		φ = -0.88497191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45794120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.238098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88497191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.705155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55983 KachelY 87022 -0.45794120 -0.88497191 -26.238098 -50.705155
    Oben rechts KachelX + 1 55984 KachelY 87022 -0.45789327 -0.88497191 -26.235352 -50.705155
    Unten links KachelX 55983 KachelY + 1 87023 -0.45794120 -0.88500227 -26.238098 -50.706895
    Unten rechts KachelX + 1 55984 KachelY + 1 87023 -0.45789327 -0.88500227 -26.235352 -50.706895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88497191--0.88500227) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88497191--0.88500227) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45794120--0.45789327) × cos(-0.88497191) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633311240510553 × 6371000     		do = 193.389206024015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45794120--0.45789327) × cos(-0.88500227) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633287744699763 × 6371000     		du = 193.382031295536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88497191)-sin(-0.88500227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633311240510553-0.633287744699763)×R²
    abs(-0.45789327--0.45794120)×2.34958107901972e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34958107901972e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34958107901972e-05×40589641000000     		ar = 37405.33481699m²