Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55983 / 18573
↖ ↑ ↗
← N 77.981616°
W 26.238098°		 ← 63.58 m → N 77.981616°
W 26.235352°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.981044°
W 26.238098°		 ← 63.59 m →
4 047 m²		 N 77.981044°
W 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427120208740234 y=0.141704559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427120208740234 × 217)
    floor (0.427120208740234 × 131072)
    floor (55983.5)     		tx = 55983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141704559326172 × 217)
    floor (0.141704559326172 × 131072)
    floor (18573.5)     		ty = 18573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55983 / 18573 ti = "17/55983/18573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55983/18573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55983 ÷ 217
    55983 ÷ 131072     		x = 0.427116394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18573 ÷ 217
    18573 ÷ 131072     		y = 0.141700744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427116394042969 × 2 - 1) × π
    -0.145767211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45794120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141700744628906 × 2 - 1) × π
    0.716598510742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.2512606168567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45794120} λ = -0.45794120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2512606168567))-π/2
    2×atan(9.4997037779953)-π/2
    2×1.465916141696-π/2
    2.931832283392-1.57079632675     		φ = 1.36103596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45794120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.238098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36103596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.981616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55983 KachelY 18573 -0.45794120 1.36103596 -26.238098 77.981616
    Oben rechts KachelX + 1 55984 KachelY 18573 -0.45789327 1.36103596 -26.235352 77.981616
    Unten links KachelX 55983 KachelY + 1 18574 -0.45794120 1.36102597 -26.238098 77.981044
    Unten rechts KachelX + 1 55984 KachelY + 1 18574 -0.45789327 1.36102597 -26.235352 77.981044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36103596-1.36102597) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36103596-1.36102597) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45794120--0.45789327) × cos(1.36103596) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.208225525180249 × 6371000     		do = 63.5841690668222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45794120--0.45789327) × cos(1.36102597) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.208235296197455 × 6371000     		du = 63.5871527644715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36103596)-sin(1.36102597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208225525180249-0.208235296197455)×R²
    abs(-0.45789327--0.45794120)×9.77101720642248e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.77101720642248e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.77101720642248e-06×40589641000000     		ar = 4046.99141454141m²