Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55982 / 18574
↖ ↑ ↗
← N 77.981044°
W 26.240845°		 ← 63.60 m → N 77.981044°
W 26.238098°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.980472°
W 26.240845°		 ← 63.60 m →
4 044 m²		 N 77.980472°
W 26.238098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427112579345703 y=0.141712188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427112579345703 × 217)
    floor (0.427112579345703 × 131072)
    floor (55982.5)     		tx = 55982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141712188720703 × 217)
    floor (0.141712188720703 × 131072)
    floor (18574.5)     		ty = 18574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55982 / 18574 ti = "17/55982/18574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55982/18574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55982 ÷ 217
    55982 ÷ 131072     		x = 0.427108764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18574 ÷ 217
    18574 ÷ 131072     		y = 0.141708374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427108764648438 × 2 - 1) × π
    -0.145782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45798914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141708374023438 × 2 - 1) × π
    0.716583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25121267995708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45798914} λ = -0.45798914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25121267995708))-π/2
    2×atan(9.49924840256361)-π/2
    2×1.46591115073587-π/2
    2.93182230147174-1.57079632675     		φ = 1.36102597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45798914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.240845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36102597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.981044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55982 KachelY 18574 -0.45798914 1.36102597 -26.240845 77.981044
    Oben rechts KachelX + 1 55983 KachelY 18574 -0.45794120 1.36102597 -26.238098 77.981044
    Unten links KachelX 55982 KachelY + 1 18575 -0.45798914 1.36101599 -26.240845 77.980472
    Unten rechts KachelX + 1 55983 KachelY + 1 18575 -0.45794120 1.36101599 -26.238098 77.980472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36102597-1.36101599) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36102597-1.36101599) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45798914--0.45794120) × cos(1.36102597) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.208235296197455 × 6371000     		do = 63.6004194352589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45798914--0.45794120) × cos(1.36101599) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.208245057413113 × 6371000     		du = 63.6034007617745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36102597)-sin(1.36101599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208235296197455-0.208245057413113)×R²
    abs(-0.45794120--0.45798914)×9.7612156577942e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.7612156577942e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.7612156577942e-06×40589641000000     		ar = 4043.97353699816m²