Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55981 / 29612
↖ ↑ ↗
← N 69.737140°
W 26.243592°		 ← 105.78 m → N 69.737140°
W 26.240845°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 69.736188°
W 26.243592°		 ← 105.78 m →
11 194 m²		 N 69.736188°
W 26.240845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427104949951172 y=0.225925445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427104949951172 × 217)
    floor (0.427104949951172 × 131072)
    floor (55981.5)     		tx = 55981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225925445556641 × 217)
    floor (0.225925445556641 × 131072)
    floor (29612.5)     		ty = 29612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55981 / 29612 ti = "17/55981/29612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55981/29612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55981 ÷ 217
    55981 ÷ 131072     		x = 0.427101135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29612 ÷ 217
    29612 ÷ 131072     		y = 0.225921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427101135253906 × 2 - 1) × π
    -0.145797729492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45803708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225921630859375 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7220851819509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45803708} λ = -0.45803708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7220851819509))-π/2
    2×atan(5.59618537139653)-π/2
    2×1.39396951187402-π/2
    2.78793902374803-1.57079632675     		φ = 1.21714270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45803708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.243592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21714270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.737140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55981 KachelY 29612 -0.45803708 1.21714270 -26.243592 69.737140
    Oben rechts KachelX + 1 55982 KachelY 29612 -0.45798914 1.21714270 -26.240845 69.737140
    Unten links KachelX 55981 KachelY + 1 29613 -0.45803708 1.21712609 -26.243592 69.736188
    Unten rechts KachelX + 1 55982 KachelY + 1 29613 -0.45798914 1.21712609 -26.240845 69.736188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21714270-1.21712609) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21714270-1.21712609) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45803708--0.45798914) × cos(1.21714270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346327628466686 × 6371000     		do = 105.777372206813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45803708--0.45798914) × cos(1.21712609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346343210486225 × 6371000     		du = 105.782131356662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21714270)-sin(1.21712609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346327628466686-0.346343210486225)×R²
    abs(-0.45798914--0.45803708)×1.558201953894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.558201953894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.558201953894e-05×40589641000000     		ar = 11193.8576850248m²