Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5598 / 3015
↖ ↑ ↗
← N 81.189648°
W118.498535°		 ← 187.11 m → N 81.189648°
W118.487549°		 →
↑
187.12 m
↓
↑
187.12 m
↓
N 81.187965°
W118.498535°		 ← 187.15 m →
35 015 m²		 N 81.187965°
W118.487549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170852661132812 y=0.0920257568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170852661132812 × 215)
    floor (0.170852661132812 × 32768)
    floor (5598.5)     		tx = 5598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0920257568359375 × 215)
    floor (0.0920257568359375 × 32768)
    floor (3015.5)     		ty = 3015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5598 / 3015 ti = "15/5598/3015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5598/3015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5598 ÷ 215
    5598 ÷ 32768     		x = 0.17083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3015 ÷ 215
    3015 ÷ 32768     		y = 0.092010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.6583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06818960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092010498046875 × 2 - 1) × π
    0.81597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56347364408212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06818960} λ = -2.06818960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56347364408212))-π/2
    2×atan(12.980829874352)-π/2
    2×1.49391150452933-π/2
    2.98782300905866-1.57079632675     		φ = 1.41702668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06818960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.498535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41702668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.189648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5598 KachelY 3015 -2.06818960 1.41702668 -118.498535 81.189648
    Oben rechts KachelX + 1 5599 KachelY 3015 -2.06799785 1.41702668 -118.487549 81.189648
    Unten links KachelX 5598 KachelY + 1 3016 -2.06818960 1.41699731 -118.498535 81.187965
    Unten rechts KachelX + 1 5599 KachelY + 1 3016 -2.06799785 1.41699731 -118.487549 81.187965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41702668-1.41699731) × R
    2.93700000000285e-05 × 6371000     		dl = 187.116270000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41702668-1.41699731) × R
    2.93700000000285e-05 × 6371000     		dr = 187.116270000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06818960--2.06799785) × cos(1.41702668) × R
    0.000191750000000379 × 0.153164379596376 × 6371000     		do = 187.111617817203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06818960--2.06799785) × cos(1.41699731) × R
    0.000191750000000379 × 0.153193402985605 × 6371000     		du = 187.147073928652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41702668)-sin(1.41699731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153164379596376-0.153193402985605)×R²
    abs(-2.06799785--2.06818960)×2.90233892285552e-05×R²
    0.000191750000000379×2.90233892285552e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.90233892285552e-05×40589641000000     		ar = 35014.9452097045m²