Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55978 / 86594
↖ ↑ ↗
← S 49.954754°
W 26.251831°		 ← 196.51 m → S 49.954754°
W 26.249084°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 49.956521°
W 26.251831°		 ← 196.50 m →
38 610 m²		 S 49.956521°
W 26.249084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427082061767578 y=0.660663604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427082061767578 × 217)
    floor (0.427082061767578 × 131072)
    floor (55978.5)     		tx = 55978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660663604736328 × 217)
    floor (0.660663604736328 × 131072)
    floor (86594.5)     		ty = 86594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55978 / 86594 ti = "17/55978/86594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55978/86594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55978 ÷ 217
    55978 ÷ 131072     		x = 0.427078247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86594 ÷ 217
    86594 ÷ 131072     		y = 0.660659790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427078247070312 × 2 - 1) × π
    -0.145843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45818089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660659790039062 × 2 - 1) × π
    -0.321319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00945523219914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45818089} λ = -0.45818089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00945523219914))-π/2
    2×atan(0.36441744839886)-π/2
    2×0.349460693643726-π/2
    0.698921387287451-1.57079632675     		φ = -0.87187494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45818089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.251831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87187494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.954754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55978 KachelY 86594 -0.45818089 -0.87187494 -26.251831 -49.954754
    Oben rechts KachelX + 1 55979 KachelY 86594 -0.45813295 -0.87187494 -26.249084 -49.954754
    Unten links KachelX 55978 KachelY + 1 86595 -0.45818089 -0.87190578 -26.251831 -49.956521
    Unten rechts KachelX + 1 55979 KachelY + 1 86595 -0.45813295 -0.87190578 -26.249084 -49.956521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87187494--0.87190578) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87187494--0.87190578) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45818089--0.45813295) × cos(-0.87187494) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64339234377116 × 6371000     		do = 196.508582706739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45818089--0.45813295) × cos(-0.87190578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643368734316331 × 6371000     		du = 196.501371771527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87187494)-sin(-0.87190578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64339234377116-0.643368734316331)×R²
    abs(-0.45813295--0.45818089)×2.36094548289323e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36094548289323e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36094548289323e-05×40589641000000     		ar = 38609.6201992199m²