Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55978 / 29594
↖ ↑ ↗
← N 69.754255°
W 26.251831°		 ← 105.69 m → N 69.754255°
W 26.249084°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
N 69.753304°
W 26.251831°		 ← 105.70 m →
11 171 m²		 N 69.753304°
W 26.249084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427082061767578 y=0.225788116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427082061767578 × 217)
    floor (0.427082061767578 × 131072)
    floor (55978.5)     		tx = 55978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225788116455078 × 217)
    floor (0.225788116455078 × 131072)
    floor (29594.5)     		ty = 29594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55978 / 29594 ti = "17/55978/29594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55978/29594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55978 ÷ 217
    55978 ÷ 131072     		x = 0.427078247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29594 ÷ 217
    29594 ÷ 131072     		y = 0.225784301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427078247070312 × 2 - 1) × π
    -0.145843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45818089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225784301757812 × 2 - 1) × π
    0.548431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72294804614406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45818089} λ = -0.45818089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72294804614406))-π/2
    2×atan(5.60101620324799)-π/2
    2×1.39411886827036-π/2
    2.78823773654072-1.57079632675     		φ = 1.21744141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45818089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.251831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21744141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.754255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55978 KachelY 29594 -0.45818089 1.21744141 -26.251831 69.754255
    Oben rechts KachelX + 1 55979 KachelY 29594 -0.45813295 1.21744141 -26.249084 69.754255
    Unten links KachelX 55978 KachelY + 1 29595 -0.45818089 1.21742482 -26.251831 69.753304
    Unten rechts KachelX + 1 55979 KachelY + 1 29595 -0.45813295 1.21742482 -26.249084 69.753304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21744141-1.21742482) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21744141-1.21742482) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45818089--0.45813295) × cos(1.21744141) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346047389098871 × 6371000     		do = 105.691779890644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45818089--0.45813295) × cos(1.21742482) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346062954071857 × 6371000     		du = 105.696533834036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21744141)-sin(1.21742482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346047389098871-0.346062954071857)×R²
    abs(-0.45813295--0.45818089)×1.55649729866036e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55649729866036e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55649729866036e-05×40589641000000     		ar = 11171.3322834296m²