Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55974 / 29071
↖ ↑ ↗
← N 70.245532°
W 26.262817°		 ← 103.21 m → N 70.245532°
W 26.260071°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 70.244603°
W 26.262817°		 ← 103.21 m →
10 659 m²		 N 70.244603°
W 26.260071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427051544189453 y=0.221797943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427051544189453 × 217)
    floor (0.427051544189453 × 131072)
    floor (55974.5)     		tx = 55974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221797943115234 × 217)
    floor (0.221797943115234 × 131072)
    floor (29071.5)     		ty = 29071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55974 / 29071 ti = "17/55974/29071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55974/29071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55974 ÷ 217
    55974 ÷ 131072     		x = 0.427047729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29071 ÷ 217
    29071 ÷ 131072     		y = 0.221794128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427047729492188 × 2 - 1) × π
    -0.145904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45837263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221794128417969 × 2 - 1) × π
    0.556411743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.74801904464535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45837263} λ = -0.45837263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74801904464535))-π/2
    2×atan(5.74321434862901)-π/2
    2×1.39840607203887-π/2
    2.79681214407775-1.57079632675     		φ = 1.22601582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45837263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.262817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22601582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.245532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55974 KachelY 29071 -0.45837263 1.22601582 -26.262817 70.245532
    Oben rechts KachelX + 1 55975 KachelY 29071 -0.45832470 1.22601582 -26.260071 70.245532
    Unten links KachelX 55974 KachelY + 1 29072 -0.45837263 1.22599961 -26.262817 70.244603
    Unten rechts KachelX + 1 55975 KachelY + 1 29072 -0.45832470 1.22599961 -26.260071 70.244603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22601582-1.22599961) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22601582-1.22599961) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45837263--0.45832470) × cos(1.22601582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337990109435417 × 6371000     		do = 103.209345937184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45837263--0.45832470) × cos(1.22599961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338005365427029 × 6371000     		du = 103.214004537753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22601582)-sin(1.22599961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337990109435417-0.338005365427029)×R²
    abs(-0.45832470--0.45837263)×1.52559916115069e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52559916115069e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52559916115069e-05×40589641000000     		ar = 10659.0732597388m²