Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55973 / 29067
↖ ↑ ↗
← N 70.249245°
W 26.265564°		 ← 103.21 m → N 70.249245°
W 26.262817°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
N 70.248317°
W 26.265564°		 ← 103.22 m →
10 653 m²		 N 70.248317°
W 26.262817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427043914794922 y=0.221767425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427043914794922 × 217)
    floor (0.427043914794922 × 131072)
    floor (55973.5)     		tx = 55973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221767425537109 × 217)
    floor (0.221767425537109 × 131072)
    floor (29067.5)     		ty = 29067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55973 / 29067 ti = "17/55973/29067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55973/29067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55973 ÷ 217
    55973 ÷ 131072     		x = 0.427040100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29067 ÷ 217
    29067 ÷ 131072     		y = 0.221763610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427040100097656 × 2 - 1) × π
    -0.145919799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.45842057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221763610839844 × 2 - 1) × π
    0.556472778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.74821079224383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45842057} λ = -0.45842057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74821079224383))-π/2
    2×atan(5.74431570177545)-π/2
    2×1.39843847351127-π/2
    2.79687694702254-1.57079632675     		φ = 1.22608062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45842057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.265564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22608062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.249245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55973 KachelY 29067 -0.45842057 1.22608062 -26.265564 70.249245
    Oben rechts KachelX + 1 55974 KachelY 29067 -0.45837263 1.22608062 -26.262817 70.249245
    Unten links KachelX 55973 KachelY + 1 29068 -0.45842057 1.22606442 -26.265564 70.248317
    Unten rechts KachelX + 1 55974 KachelY + 1 29068 -0.45837263 1.22606442 -26.262817 70.248317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22608062-1.22606442) × R
    1.62000000001328e-05 × 6371000     		dl = 103.210200000846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22608062-1.22606442) × R
    1.62000000001328e-05 × 6371000     		dr = 103.210200000846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45842057--0.45837263) × cos(1.22608062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.337929122227758 × 6371000     		do = 103.212252224015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45842057--0.45837263) × cos(1.22606442) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.337944369162712 × 6371000     		du = 103.216909030406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22608062)-sin(1.22606442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337929122227758-0.337944369162712)×R²
    abs(-0.45837263--0.45842057)×1.52469349541939e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52469349541939e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52469349541939e-05×40589641000000     		ar = 10652.7975097948m²